쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 01 평균변화율
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서술형
평균변화율
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출제의도
평균변화율을 두 번 구해서 등식으로 놓으라는 문제 — 서술형이라 과정이 점수다
계산 자체는 앞의 두 문제보다 쉽습니다. 대신 서술형이라 채점 기준이 세 덩어리로 나뉘어 있습니다. 왼쪽(숫자 구간)에서 6을 구하는 데 40%, 오른쪽(문자 구간)을 a+4로 정리하는 데 40%, 방정식을 풀어 a=2를 얻는 데 20%. 답만 맞히면 20점짜리 문제입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 두 개를 따로 쓰기
“평균변화율이 같다”는 문장은 (왼쪽 평균변화율) = (오른쪽 평균변화율)이라는 등식 하나입니다.
먼저 숫자만 있는 쪽, 즉 x가 −2에서 4까지 변할 때부터 계산하세요. 분모는 4−(−2)입니다.
먼저 숫자만 있는 쪽, 즉 x가 −2에서 4까지 변할 때부터 계산하세요. 분모는 4−(−2)입니다.
힌트 2 — 문자 쪽은 약분이 열쇠
x가 0에서 a까지 변할 때, f(0)=0이므로 분자는 a²+4a, 분모는 a−0=a.
a가 양수라서 a≠0이므로 약분할 수 있습니다. 어떤 식이 남나요?
a가 양수라서 a≠0이므로 약분할 수 있습니다. 어떤 식이 남나요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
왼쪽은 6, 오른쪽은 a+4입니다. a+4=6.
답을 적고 끝내지 말고, 서술형이니 ① 왼쪽 계산 ② 오른쪽 정리 ③ 방정식 풀이 세 줄이 답안지에 모두 남아 있는지 확인하세요.
답을 적고 끝내지 말고, 서술형이니 ① 왼쪽 계산 ② 오른쪽 정리 ③ 방정식 풀이 세 줄이 답안지에 모두 남아 있는지 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 a = 2
채점 기준
| ❶ x의 값이 −2에서 4까지 변할 때의 평균변화율을 구할 수 있다 | 40% |
| ❷ x의 값이 0에서 a까지 변할 때의 평균변화율을 a에 대한 식으로 나타낼 수 있다 | 40% |
| ❸ a의 값을 구할 수 있다 | 20% |
검산용 지름길 — 두 끝값의 합 + 4
f(x)=x²+4x에서 구간 [p, q]의 평균변화율은 (p+q)+4입니다.
왼쪽은 (−2)+4+4=6, 오른쪽은 0+a+4=a+4. 곧바로 a=2. 다만 서술형 답안에는 이 공식만 적으면 ❶❷의 과정 점수를 받기 어려우니, 정식 계산으로 쓰고 이 방법은 검산에만 쓰세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
답만 적고 과정을 생략한다
서술형입니다. a=2만 쓰면 20%입니다. 왼쪽 평균변화율 6, 오른쪽 평균변화율 a+4를 각각 한 줄씩 남겨야 나머지 80%가 붙습니다. -
분모 4−(−2)를 2로 계산한다
음수 구간에서 가장 많이 나오는 실수입니다. 4−(−2)=6. 괄호를 반드시 치고 적으세요. 여기서 2로 쓰면 평균변화율이 18이 되어 이후가 전부 틀립니다. -
f(−2)의 부호를 놓친다
f(−2)=(−2)²+4(−2)=4−8=−4입니다. 4+8=12로 쓰면 안 됩니다. 그리고 32−(−4)=36이라는 뺄셈에서도 부호가 한 번 더 걸립니다. -
a로 약분하면서 근거를 안 쓴다
(a²+4a)/a에서 a를 지우려면 a≠0이어야 합니다. 문제에 “양수 a”라는 조건이 있으니 그 한 줄을 근거로 적어 두세요. 서술형에서 감점되는 자리입니다. -
구간을 서로 바꿔 대입한다
[−2, 4]와 [0, a]는 각각 다른 평균변화율입니다. 급하게 풀면 f(a)−f(−2) 같은 섞인 식이 나옵니다. 두 계산을 답안지 위아래로 확실히 떼어 놓고 쓰세요.