쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수
0273
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평균변화율
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출제의도
평균변화율을 차(差)의 식으로 바꾸고, 이어 붙여서 먼 구간을 만들어라
f(x)가 어떤 함수인지는 끝까지 알려주지 않습니다. 알려준 것은 “이웃한 두 점 사이의 차”뿐입니다. 1에서 50까지의 변화량을 한 번에 구할 방법은 없고, 폭이 1인 차 49개를 이어 붙여 만들어야 합니다. 즉 평균변화율 문제의 옷을 입은 수열의 합 문제입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 조건을 식으로 옮기기
f(x)를 구하려 하고 있다면 멈추세요. 주어진 조건만으로 f(x)는 정해지지 않습니다.
x가 k에서 k+1까지 변할 때의 평균변화율은 {f(k+1)−f(k)} / {(k+1)−k}입니다. 분모가 1이므로 조건은 아주 단순한 한 줄이 됩니다. 그 한 줄을 먼저 적으세요.
x가 k에서 k+1까지 변할 때의 평균변화율은 {f(k+1)−f(k)} / {(k+1)−k}입니다. 분모가 1이므로 조건은 아주 단순한 한 줄이 됩니다. 그 한 줄을 먼저 적으세요.
힌트 2 — 먼 거리를 잘게 쪼개기
구해야 할 것은 {f(50)−f(1)} / 49입니다. f(50)도 f(1)도 값을 모릅니다.
하지만 f(50)−f(1) = {f(50)−f(49)} + {f(49)−f(48)} + … + {f(2)−f(1)}로 쪼개면, 각 괄호는 전부 힌트 1에서 구한 꼴입니다. 중간 항들이 서로 지워지는 구조를 확인하세요.
하지만 f(50)−f(1) = {f(50)−f(49)} + {f(49)−f(48)} + … + {f(2)−f(1)}로 쪼개면, 각 괄호는 전부 힌트 1에서 구한 꼴입니다. 중간 항들이 서로 지워지는 구조를 확인하세요.
힌트 3 — 개수와 마무리
쪼갠 괄호는 각각 49, 48, 47, …, 2, 1이 됩니다. 개수는 50개가 아니라 49개입니다.
따라서 f(50)−f(1) = 1+2+…+49 = 49·50/2 = 1225. 마지막으로 분모 49로 나누는 것을 잊지 마세요.
따라서 f(50)−f(1) = 1+2+…+49 = 49·50/2 = 1225. 마지막으로 분모 49로 나누는 것을 잊지 마세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 25
풀이영상
더 빠른 길 — f(n)의 일반항을 만들어 버리기
f(k+1)−f(k)=k이므로 f(n) = f(1) + {1+2+…+(n−1)} = f(1) + (n−1)n/2입니다.
f(50) = f(1) + 49·50/2 = f(1) + 1225이므로 {f(50)−f(1)}/49 = 1225/49 = 25. f(1)이 무엇이든 상관없다는 사실이 이 식에서 한눈에 보입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(x)를 구체적인 함수로 정하려 든다
f(x)는 하나로 정해지지 않습니다. 조건이 “차”로만 주어지면 답도 “차”로만 굴러갑니다. 함수식을 찾는 대신 f(k+1)−f(k)=k 한 줄을 무기로 쓰세요. -
분모 (k+1)−k=1을 계산하지 않고 넘어간다
평균변화율은 분모가 있는 식입니다. 여기서는 분모가 1이라 조건이 곧바로 f(k+1)−f(k)=k가 되는데, 이 확인을 건너뛰면 시작부터 식이 어긋납니다. -
더하는 항의 개수를 50개로 센다
1부터 50까지 사이의 “간격”은 49개입니다. 1+2+…+49이지 1+2+…+50이 아닙니다. Σ 공식에 넣을 n은 49입니다. -
1225에서 멈춘다
1225는 f(50)−f(1), 즉 변화량입니다. 문제가 물은 것은 평균변화율이므로 반드시 49로 나눠야 합니다. -
Σk 공식에 엉뚱한 수를 대입한다
n(n+1)/2에 n=49를 넣으면 49·50/2입니다. 50·51/2로 쓰면 답이 통째로 달라집니다. 마지막 항이 49임을 확인하고 대입하세요.
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