쎈미적분1 0271

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쎈수학 미적분Ⅰ · 03 미분계수와 도함수 · 유형 01 평균변화율

0271
난이도 하
평균변화율
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쎈 미적분1 0271번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

미지수 a가 함수 안에 있어도 평균변화율 계산 순서는 똑같다

앞 문제와 다른 점은 미지수의 위치 하나뿐입니다. 0270은 구간 끝에 a가 있었고, 여기서는 함수식에 a가 있습니다. f(4)와 f(2)를 a를 남긴 채 그대로 대입해 빼면 상수항 1은 저절로 사라지고 a에 대한 일차방정식만 남습니다. 계산량이 적은 대신 부호 처리에서 갈리는 문제입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — a를 그대로 두고 대입
a를 먼저 구하려 하지 마세요. 순서는 반대입니다. f(4)=16+4a+1, f(2)=4+2a+1을 그대로 적는 것이 첫 줄입니다.
분모는 4−2, 즉 2입니다.
힌트 2 — 빼면 무엇이 사라지나
f(4)−f(2)를 계산하면 상수항 1이 서로 소거됩니다. 남는 것은 (16−4) + (4a−2a) = 2a+12.
이것을 2로 나누면 어떤 식이 되나요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
평균변화율이 a+6입니다. 문제에서 이 값이 3이라 했으니 a+6=3.
양변에서 6을 빼면 끝입니다. 뺄셈 한 번에 부호를 틀리는 자리이니 천천히 하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ③  a = −3

쎈 미적분1 0271번 해설

외워 두면 빠른 공식 — 이차함수의 평균변화율

f(x)=x²+ax+b에서 구간 [p, q]의 평균변화율은 (p+q)+a입니다. 상수항 b는 항상 소거되고 남는 것은 두 끝값의 합과 일차항의 계수뿐입니다.
이 문제는 p+q=2+4=6이므로 곧바로 6+a=3, a=−3. 대입 과정 없이 한 줄로 끝납니다. 이차함수 평균변화율 문항 전체에 통하니 손으로 한 번 유도해 두세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 분모 4−2=2를 빠뜨린다
    f(4)−f(2)=2a+12만 구하고 2a+12=3으로 놓는 실수가 가장 많습니다. 평균변화율은 “차”가 아니라 “차의 비”입니다. 식을 쓸 때 분수 막대를 먼저 긋는 습관을 들이세요.
  • 4a−2a를 6a나 2a²로 처리한다
    같은 문자끼리의 뺄셈입니다. 계수만 빼서 2a. 급하게 암산하면 앞의 16−4=12와 섞여 6a가 튀어나옵니다. 숫자항과 a항을 세로로 나눠 적으면 사라지는 실수입니다.
  • 상수항 1을 한쪽에만 쓴다
    f(4)에는 +1을 쓰고 f(2)에는 빠뜨리면 답이 −4가 나옵니다. 뺄셈에서 소거될 항일수록 양쪽에 다 적어 두고 지우세요.
  • a+6=3에서 a=3−6을 a=−9로 쓴다
    이동시킬 때 6을 빼는 것인지 더하는 것인지가 헷갈리면, 구한 a를 원식에 넣어 검산하세요. a=−3이면 f(x)=x²−3x+1, f(4)=5, f(2)=−1, (5−(−1))/2=3. 조건과 일치합니다.
  • 선택지 부호를 잘못 읽는다
    이 문제 선택지는 −1부터 −5까지 전부 음수입니다. 3을 구했다고 ②를 찍으면 안 됩니다. 음수 답이 나올 때는 마킹 직전에 부호를 한 번 더 확인하세요.

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