쎈미적분1 0234

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속

0234
난이도 상
유형 04 + 유형 10
서술형

쎈 미적분1 0234번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

주기 4를 이용해, 한 주기 안의 근 위치만 결정하라는 문제

조건 (나)는 “주기가 4″라는 뜻입니다. 그래서 0≤x<4의 포물선 한 조각이 오른쪽으로 무한히 복사됩니다. 남은 일은 두 가지뿐입니다. 하나는 연속 조건으로 a와 b를 묶는 것, 다른 하나는 1<x<10에 근이 정확히 5개가 되도록 포물선의 근 위치를 조절하는 것. 두 번째의 도구가 사잇값 정리입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 조건 (나)를 번역하기
f(x)=f(x+4)는 주기가 4인 함수라는 뜻입니다. 그러면 0≤x<4의 그래프만 알면 전체가 결정됩니다.
그런데 f는 모든 실수에서 연속이므로 이어 붙인 자리 x=4에서도 끊기면 안 됩니다. f(4)를 두 가지 방법으로 읽어 보세요. a와 b를 묶는 식이 나옵니다.
힌트 2 — a의 부호 가르기
b=−4a를 대입하면 0≤x<4에서 f(x)=a(x−2)²−4a+21, 즉 직선 x=2에 대칭인 포물선입니다.
a<0이면 이 조각의 최솟값이 f(0)=21이라 f(x)=0의 실근이 아예 생기지 않습니다. 그러니 a>0이어야 합니다. 이때 최솟값 21−4a는 어떤 조건을 만족해야 할까요?
힌트 3 — 5개를 만드는 자리
한 주기에 근이 2개씩이면 1<x<10에서는 4개 또는 5개가 됩니다. 1<x<10은 9칸, 즉 두 주기에 한 칸이 더 붙은 구간이기 때문입니다.
5개가 되려면 구간 (1, 2)에 근이 하나 있어야 합니다. 사잇값 정리를 쓰려면 f(1)과 f(2)의 부호를 비교하면 됩니다. 그리고 a가 정수라는 조건을 마지막에 쓰세요.

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 a+b = −18  (a=6, b=−24)

쎈 미적분1 0234번 해설 1
쎈 미적분1 0234번 해설 2

서술형 채점 기준

채점 기준 비율
❶ a와 b의 관계식을 구할 수 있다. 40 %
❷ a, b의 값을 구할 수 있다. 50 %
❸ a+b의 값을 구할 수 있다. 10 %
다른 길 — 근을 직접 구해 자리로 세기

a>0일 때 a(x−2)²=4a−21에서 한 주기 안의 두 근은 x=2±√((4a−21)/a)입니다. 작은 근을 α라 하면 모든 근은 α+4k, (4−α)+4k 꼴로 4칸마다 반복됩니다.
1<x<10 안에 5개가 놓이려면 α가 1보다 커야 하므로 √((4a−21)/a)<1, 곧 a<7. 근이 실제로 존재하려면 4a−21>0, 곧 a>21/4.
따라서 21/4<a<7이고 a는 정수이므로 a=6, b=−24. 사잇값 정리 대신 근의 위치로 바로 판정하는 방식입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • x=4에서의 연속을 쓰지 않고 넘어간다
    f(4)=f(0)이라는 한 줄이 b=−4a의 유일한 출처입니다. 이걸 빠뜨리면 미지수 두 개를 그대로 안고 가게 되고, 서술형에서는 배점 40%가 통째로 날아갑니다.
  • a<0인 경우를 검토하지 않는다
    답만 맞히면 되는 객관식이 아닙니다. a<0일 때 f(x)≥21>0이라 근이 없다는 근거를 적고 배제해야 풀이가 완성됩니다. 경우를 나눈 흔적 자체가 점수입니다.
  • 사잇값 정리의 부등호에 등호를 넣는다
    f(1)f(2)<0이어야 합니다. 등호를 허용하면 근이 x=1 또는 x=2에 정확히 걸리는 경우가 섞여 들어가 근의 개수가 5개에서 어긋납니다.
  • a가 정수라는 조건을 잊는다
    21/4<a<7은 값이 아니라 구간입니다. “두 정수 a, b”라는 문구를 근거로 적고 나서야 a=6으로 확정됩니다. 문제의 첫 줄을 다시 읽는 습관을 들이세요.
  • 1<x<10을 두 주기로만 센다
    구간의 길이는 9칸이라 두 주기(8칸)에 한 칸이 더 붙습니다. 이 한 칸을 빼먹으면 근이 4개라고 판단해 조건 자체를 잘못 세우게 됩니다.
  • a=6까지 구하고 멈춘다
    물은 것은 a+b입니다. b=−4a=−24를 따로 적고, a+b=−18까지 써야 마지막 10%가 채워집니다.


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