쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
0235
난이도 상
사잇값 정리
교육청 기출
난이도 상
사잇값 정리
교육청 기출
문제를 읽자마자
출제의도
조건 (가)로 a의 범위를 자르고, 조건 (나)의 넓이로 a를 확정하는 2단 문제
f(x)=0의 근이 될 수 있는 값은 x=a와 x=2, 단 둘뿐입니다. 조건 (가)가 실제로 묻는 것은 “그 근이 구간 (0, 1+a/2) 안에 들어오는가”이고, 그 답은 1+a/2가 a보다 왼쪽이냐 오른쪽이냐로 갈립니다. 그리고 그 갈림길은 a와 2의 대소입니다. 여기까지 정리되면 (나)는 밑변이 x축 위에 놓인 삼각형의 넓이 계산일 뿐입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 조건 (가)를 번역하기
“f(c)=0인 c가 0과 1+a/2 사이에 적어도 하나 존재한다”는 사잇값 정리를 쓰라는 신호입니다. f는 다항식으로 이어 붙인 연속함수이므로, 구간의 양 끝 부호가 반대이기만 하면 됩니다.
왼쪽 끝은 f(0)=a²>0으로 이미 정해져 있습니다. 그렇다면 승부는 f(1+a/2)의 부호 하나입니다.
왼쪽 끝은 f(0)=a²>0으로 이미 정해져 있습니다. 그렇다면 승부는 f(1+a/2)의 부호 하나입니다.
힌트 2 — 어느 식에 대입할지부터
f는 x≤a와 x>a에서 식이 다릅니다. 1+a/2를 어느 식에 넣을지는 1+a/2와 a의 대소로 결정되고, 그건 곧 a와 2의 대소입니다.
a>2이면 1+a/2<a, 0<a<2이면 a<1+a/2<2. 두 경우를 반드시 나눠서 부호를 확인하세요. 한쪽은 조건을 만족시키지 못합니다.
a>2이면 1+a/2<a, 0<a<2이면 a<1+a/2<2. 두 경우를 반드시 나눠서 부호를 확인하세요. 한쪽은 조건을 만족시키지 못합니다.
힌트 3 — 넓이는 밑변부터
f(2)=0, f(a)=0이므로 세 꼭짓점 중 두 개는 x축 위의 점 (2, 0), (a, 0)입니다. 밑변은 2−a로 바로 읽힙니다.
높이는 세 번째 점의 y좌표 f(1+a/2)의 절댓값입니다. 이 값이 (2−a)²/4로 정리되면, 넓이는 (2−a)³/8. 여기까지 왔으면 a는 한 줄입니다.
높이는 세 번째 점의 y좌표 f(1+a/2)의 절댓값입니다. 이 값이 (2−a)²/4로 정리되면, 넓이는 (2−a)³/8. 여기까지 왔으면 a는 한 줄입니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ① f(3a) = 2
더 빠른 길 — 사잇값 정리 대신 근의 위치로
f(x)=0의 근은 x=a(위쪽 식)와 x=2(아래쪽 식)뿐입니다. a>2이면 x=2는 x>a 구간 밖이라 근이 아니고, 남은 근 x=a는 1+a/2보다 오른쪽이므로 구간 (0, 1+a/2)에 근이 없습니다.
0<a<2이면 a<1+a/2이므로 근 x=a가 구간 안에 들어옵니다. 부호 계산 없이 0<a<2가 바로 나옵니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
a>2인 경우를 확인하지 않고 넘어간다
문제가 준 조건은 “2가 아닌 양수 a”뿐입니다. 0<a<2를 가정한 게 아니라 두 경우를 모두 검증한 결과여야 합니다. 서술형이라면 a>2를 배제한 근거 한 줄이 반드시 필요합니다. -
f(1+a/2)를 (x−a)²에 대입한다
0<a<2일 때 1+a/2는 a보다 오른쪽입니다. 아래쪽 식 (x−2)(x−a)에 넣어야 하고, 그래야 음수가 나옵니다. 양수가 나왔다면 식을 잘못 고른 것입니다. -
삼각형 높이에 음수를 그대로 넣는다
f(1+a/2)<0입니다. 높이는 −f(1+a/2)=(2−a)²/4. 부호를 그대로 두면 넓이가 음수가 되어 (2−a)³=−1이라는 엉뚱한 식이 나옵니다. -
f(3a)를 f(a)로 착각한다
a=1이므로 3a=3입니다. 구할 값은 f(3). 그리고 3>1=a이므로 아래쪽 식 (x−2)(x−1)에 대입해 (3−2)(3−1)=2입니다. -
(2−a)³=1에서 근을 더 찾으려 한다
실수 범위에서 세제곱해서 1이 되는 수는 1뿐입니다. 2−a=1, 즉 a=1로 끝. 이 값이 앞서 구한 0<a<2 안에 있는지 확인하는 한 줄까지가 완결입니다.
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