쎈미적분1 0233

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속

0233
난이도 상
유형 08
평가원 기출

쎈 미적분1 0233번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

g(x)를 구하지 말고, g의 좌우극한만 f(0)으로 바꿔 쓰라는 문제

연속 조건이 걸린 함수는 f 하나뿐입니다. g는 x=0에서 연속이라는 말이 없고, 오히려 좌극한과 우극한이 6만큼 벌어져 있습니다. 주어진 두 등식을 g에 대해 정리한 뒤 극한만 취하면 x가 붙은 항은 전부 0으로 사라지고 f(0)과 상수만 남습니다. 계산은 일차방정식 한 줄입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 무엇이 연속인가
f(x)와 g(x)를 각각 구하려 하고 있다면 멈추세요. 두 식은 서로 다른 구간에서만 주어져 있어 연립할 수 없습니다.
연속 조건이 붙은 함수는 f 하나뿐입니다. 먼저 주어진 두 등식을 g(x)=… 꼴로 구간별로 정리해 보세요.
힌트 2 — 극한을 취하면 남는 것
x<0일 때 g(x)=−f(x)+x²+4, x>0일 때 g(x)=f(x)−x²−2x−8입니다.
여기서 x→0의 극한을 취하면 x²과 2x는 0이 되고, f의 좌극한·우극한은 연속 조건에 의해 둘 다 f(0)입니다. 그러면 각각 무엇만 남나요?
힌트 3 — 순서 그대로 대입
좌극한은 −f(0)+4, 우극한은 f(0)−8이 되었나요?
문제가 준 것은 (좌극한)−(우극한)=6입니다. 순서를 바꾸지 말고 그대로 빼세요. f(0)에 대한 일차방정식 하나가 남습니다.

다 풀고 나서

해설

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정답 ⑤  f(0) = 3

쎈 미적분1 0233번 해설

더 빠른 길 — 상수항만 세기

극한을 취하는 순간 x가 들어간 항은 전부 사라집니다. 그러니 처음부터 상수항만 보세요.
왼쪽에서는 f+g의 상수항이 4이므로 (좌극한)=4−f(0), 오른쪽에서는 f−g의 상수항이 8이므로 (우극한)=f(0)−8.
차를 만들면 12−2f(0)=6, 곧 f(0)=3. 식을 옮겨 적지 않고 두 줄로 끝납니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • g도 x=0에서 연속이라고 가정한다
    연속 조건은 f에만 주어졌습니다. 좌극한과 우극한의 차가 6이라는 조건 자체가 g의 불연속을 말해 주고 있습니다. g의 좌우극한을 같다고 두는 순간 문제가 무너집니다.
  • x<0 식과 x>0 식을 뒤바꿔 쓴다
    왼쪽은 f+g, 오른쪽은 f−g입니다. 정리하면 f 앞의 부호가 각각 −와 +로 달라지므로, 한 번 바꿔 적으면 부호가 통째로 뒤집힙니다. 구간부터 표시하고 시작하세요.
  • 이항할 때 부호를 일부만 바꾼다
    f−g=x²+2x+8에서 g=f−x²−2x−8입니다. x²만 부호를 바꾸고 2x, 8을 그대로 두는 실수가 가장 잦습니다. 괄호로 묶어 −(x²+2x+8)로 적고 나서 풀어 쓰세요.
  • (좌극한)−(우극한)의 순서를 뒤집는다
    순서를 바꾸면 2f(0)−12=6에서 f(0)=9가 나옵니다. 선지에 없는 값이 나왔다면 십중팔구 이 실수이니, 답을 못 찾겠을 때 가장 먼저 확인할 지점입니다.
  • f(x)의 식까지 구하려 든다
    주어진 조건만으로 f(x)는 결정되지 않습니다. 문제가 물은 것은 f(0) 하나뿐이고, 극한 계산에서 필요한 것도 f(0)뿐입니다.


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