쎈미적분1 0232

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속

0232
난이도 상
수능 기출
다항식의 곱과 연속
미정계수 결정

쎈 미적분1 0232번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

g를 유리식으로 뒤집고, “실수 전체에서 연속”을 두 개의 조건으로 쪼개라는 문제

f(x)g(x)=x(x+3)에서 g의 정체는 알 수 없지만, g(x)=x(x+3)/f(x) 꼴로 뒤집는 순간 모든 게 f의 미정계수 싸움이 됩니다. 핵심은 “실수 전체에서 연속”이 한 문장이 아니라 x=0에서의 극한값 조건과 분모가 절대 0이 되지 않을 조건 두 개를 동시에 준다는 점입니다. 마지막으로 f(1)이 자연수라는 단서가 a를 정수로 못박습니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 대입할 수 있는 값부터 넣기
조건 (가)는 모든 실수에서 성립하는 항등식입니다. 가장 먼저 x=0을 넣어 보세요.
f(0)g(0)=0이고 조건 (나)에서 g(0)=1이므로 f(0)=0. 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이고 x를 인수로 가지므로 f(x)=x(x²+ax+b)로 놓을 수 있습니다.
힌트 2 — x를 약분하고 g를 드러내기
x(x²+ax+b)g(x)=x(x+3)에서 양변의 x를 정리하면 (x²+ax+b)g(x)=x+3, 즉 g(x)=(x+3)/(x²+ax+b)입니다.
여기서 “g가 x=0에서 연속”을 씁니다. limx→0 g(x)=g(0)=1이므로 3/b=1. b는 얼마인가요?
힌트 3 — 남은 두 조건으로 a 좁히기
g가 실수 전체에서 연속이려면 분모 x²+ax+3이 어떤 x에서도 0이 되면 안 됩니다. 판별식 D=a²−12<0 → −2√3<a<2√3.
또 f(1)=1·(1+a+3)=a+4가 자연수이므로 a는 −3 이상의 정수. 이제 g(2)=5/(2a+7)의 최솟값은 분모를 어떻게 해야 나오나요?

다 풀고 나서

정답과 해설

정답·해설 펼치기

정답 ①  g(2) = 5/13

쎈 미적분1 0232번 해설

표를 만들 필요가 없는 이유

a의 후보는 −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3의 7개지만 g(2)=5/(2a+7)은 a에 대한 감소함수입니다. 분모 2a+7이 a와 함께 커지므로 a가 최대일 때 g(2)가 최소. 7개를 다 대입할 것 없이 a=3만 넣으면 5/13이 바로 나옵니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 분모가 0이 되지 않을 조건을 걸지 않는다
    이 문제에서 a를 좁히는 진짜 열쇠가 판별식 D=a²−12<0입니다. “실수 전체에서 연속”이라는 말을 x=0에서의 연속으로만 읽으면 a의 범위가 통째로 사라집니다.
  • f(1)=a+4에서 0을 자연수로 센다
    자연수는 1 이상입니다. a+4≥1에서 a≥−3. 0을 포함시키면 a=−4가 후보로 들어오고, 그러면 g(2)의 최솟값이 −5로 엉뚱하게 바뀝니다.
  • a의 상한을 어림으로 4까지 늘린다
    2√3은 약 3.46입니다. 정수 a는 3이 최대. 이 한 칸 차이가 답을 5/13에서 5/15로 바꿉니다.
  • 최솟값인데 분모를 작게 만든다
    g(2)=5/(2a+7)에서 분모가 클수록 값이 작아집니다. “최소=작게”라는 관성으로 a=−3을 넣으면 5가 나옵니다. 그건 최댓값입니다.
  • 양변을 x로 나눈 근거를 안 적는다
    x≠0에서 나눈 뒤 (x²+ax+b)g(x)=x+3이 x=0에서도 성립한다고 쓰려면 양변이 연속이라는 근거가 필요합니다. 서술형에서 이 한 줄이 감점 포인트입니다.


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