쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
0231
난이도 상
대칭과 주기
가우스 함수의 불연속
난이도 상
대칭과 주기
가우스 함수의 불연속
문제를 읽자마자
출제의도
대칭 조건 두 개를 주기 2로 바꾸고, 그래프와 정수 높이의 교점을 세라는 문제
조건 (나)는 직선 x=1에 대한 대칭, 조건 (다)는 y축(x=0)에 대한 대칭입니다. 대칭축이 두 개인 함수는 반드시 주기함수가 됩니다. 그러면 (가)가 준 [−1, 1]의 조각 하나만 알면 0≤x≤6 전체 그래프가 그려지고, [f(x)]의 불연속점은 그래프가 정수 높이를 만나는 자리로 바뀝니다. 계산 문제가 아니라 그리고 세는 문제입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 조건 두 개를 이어 붙이기
f(1−x)=f(1+x)는 x=1 대칭, f(−x)=f(x)는 x=0 대칭입니다.
f(x+2)를 f(1+(x+1))로 보고 조건 (나)를 쓰면 f(1−(x+1))=f(−x), 여기에 조건 (다)를 쓰면 무엇이 되나요? 주기가 나옵니다.
f(x+2)를 f(1+(x+1))로 보고 조건 (나)를 쓰면 f(1−(x+1))=f(−x), 여기에 조건 (다)를 쓰면 무엇이 되나요? 주기가 나옵니다.
힌트 2 — 그래프를 실제로 그리기
주기가 2이므로 [−1, 1]의 y=3x²−1 조각을 옆으로 계속 복사하면 됩니다.
x=0에서 최솟값 −1, x=±1에서 최댓값 2. 따라서 0≤x≤6에서는 봉우리(y=2)가 x=1, 3, 5의 3곳, 골(y=−1)이 x=0, 2, 4, 6의 4곳이고 치역은 −1≤f(x)≤2입니다.
x=0에서 최솟값 −1, x=±1에서 최댓값 2. 따라서 0≤x≤6에서는 봉우리(y=2)가 x=1, 3, 5의 3곳, 골(y=−1)이 x=0, 2, 4, 6의 4곳이고 치역은 −1≤f(x)≤2입니다.
힌트 3 — 정수 높이만 확인하기
y=[f(x)]는 f(x)가 정수값이 되는 곳에서만 값이 튈 수 있습니다. 치역이 [−1, 2]이므로 후보는 −1, 0, 1, 2뿐입니다.
골(y=−1)에서는 좌우 모두 −1<f(x)<0이라 [f(x)]가 그대로 −1 → 연속. 나머지 y=0, y=1, y=2와의 교점 개수만 세면 끝입니다.
골(y=−1)에서는 좌우 모두 −1<f(x)<0이라 [f(x)]가 그대로 −1 → 연속. 나머지 y=0, y=1, y=2와의 교점 개수만 세면 끝입니다.
다 풀고 나서
정답과 해설
정답·해설 펼치기
정답 15
세는 순서를 고정해 두기
한 주기 [0, 2] 안에서 먼저 세고 3배 하면 실수가 줄어듭니다.
y=0과의 교점 2개, y=1과의 교점 2개 → 주기당 4개, 3주기 12개. 여기에 봉우리(y=2)에서 생기는 x=1, 3, 5의 3개를 더하면 12+3=15입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
주기를 4로 잡는다
대칭축이 두 개면 주기는 축 간격의 2배입니다. 여기서는 x=0과 x=1의 간격이 1이므로 주기는 2. 이걸 4로 잡으면 봉우리 개수부터 어긋납니다. -
골(y=−1)까지 불연속으로 센다
x=0, 2, 4, 6에서 f의 값은 −1이지만 좌우에서도 −1<f(x)<0이라 [f(x)]는 계속 −1입니다. 값이 정수라고 무조건 불연속이 아니라, 좌우에서 [f]가 달라져야 불연속입니다. -
봉우리(y=2) 3개를 빠뜨린다
x=1, 3, 5에서는 그 점에서만 [f]=2이고 좌우는 1입니다. 접하듯 만나는 자리라 교점이 하나뿐이지만 엄연한 불연속점입니다. 이 3개를 놓치면 답이 12가 됩니다. -
치역을 확인하지 않고 정수 높이를 잡는다
치역이 −1≤f(x)≤2이므로 확인할 정수는 −1, 0, 1, 2뿐입니다. 범위를 안 정하면 y=3, y=−2까지 헤매게 됩니다. -
f의 불연속을 센다
f 자체는 연속함수입니다. 불연속을 만드는 것은 가우스 기호입니다. 세어야 할 것은 f의 꺾인 점이 아니라 y=[f(x)]가 튀는 점입니다.
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