쎈미적분1 0230

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속

0230
난이도 상
불연속 조건 · 삼차함수 결정
평가원 기출

쎈 미적분1 0230번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

lim g(x)=g(3)−1은 계산식이 아니라 “x=3에서 불연속”이라는 조건 문장

극한값과 함숫값이 1만큼 다르다는 것은, 두 값이 다르다는 뜻입니다. 즉 g는 x=3에서 불연속입니다. g가 불연속이 되는 통로는 분모 f(x)가 0이 되는 지점뿐이므로, f(3)=0이 강제되고 거기서 g(3)=3이 확정됩니다. 이 지점부터는 “분모→0인데 극한이 존재한다”는 익숙한 도구로 f(6)=0까지 끌어내는, 삼차함수 결정 문제로 바뀝니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 조건을 번역하기
등식이 성립하려면 극한값과 g(3)이 같을 수 없습니다. 즉 g는 x=3에서 불연속입니다.
g는 f(x)≠0일 때와 f(x)=0일 때로 나뉘어 정의되어 있습니다. 그러면 경우를 나눌 기준은 무엇이어야 할까요?
힌트 2 — f(3)≠0을 먼저 지우기
f(3)≠0이면 x=3 근처 전체에서 f(x)≠0이므로 g는 그 근방에서 하나의 분수식입니다. 분모가 0이 아닌 연속함수의 분수식은 연속이죠.
그러면 lim g(x)=g(3)이 되어 조건과 어긋납니다. 남는 경우는 하나뿐입니다.
힌트 3 — 두 값을 확정하기
f(3)=0이므로 정의에 의해 g(3)=3, 따라서 구하는 극한값은 2입니다.
한편 f는 삼차함수라 근은 떨어져 있으므로, x=3에 가깝지만 x≠3인 곳에서는 f(x)≠0입니다. 즉 극한을 계산할 때 쓸 식은 분수식 쪽입니다.
힌트 4 — 숨은 근 하나 더 찾기
x→3에서 분모 f(x)→0인데 극한값이 존재합니다. 그러면 분자도 0으로 가야 합니다.
f(6){f(3)+1}=0에서 f(3)+1=1≠0이므로 f(6)=0. 최고차항의 계수가 1이므로 f(x)=(x−3)(x−6)(x−a)로 둘 수 있습니다.
힌트 5 — a를 정하고 마무리
f(x)→0이므로 {f(x)+1}→1입니다. 남는 것은 lim f(x+3)/f(x)=2.
f(x+3)=x(x−3)(x+3−a)이므로 분자·분모에서 (x−3)이 약분됩니다. x=3을 대입해 a를 구한 뒤, g(5)를 계산할 때는 f(5)≠0인지 먼저 확인하세요.

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 ④  g(5) = 20

쎈 미적분1 0230번 해설 1
쎈 미적분1 0230번 해설 2

더 빠른 길 — 극한을 두 덩어리로 쪼개기

복잡한 유리식을 통째로 전개하지 말고, x→3에서 f(x)→0이므로 {f(x)+1}→1이라는 점을 먼저 씁니다. 그러면 조건은 lim f(x+3)/f(x)=2 한 줄로 줄어듭니다.
f(x)=(x−3)(x−6)(x−a)에서 f(x+3)=x(x−3)(x+3−a)이므로 약분하면 x(x+3−a)/{(x−6)(x−a)}. x=3을 넣어 3(6−a)/{(−3)(3−a)}=(6−a)/(a−3)=2에서 a=4.
f(x)=(x−3)(x−4)(x−6)이고 f(5)=−2≠0이므로 g(5)=f(8){f(5)+1}/f(5)=40·(−1)/(−2)=20.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 주어진 등식을 계산식으로 읽는다
    lim g(x)=g(3)−1은 값을 구하라는 식이 아니라 “두 값이 다르다”, 즉 불연속이라는 조건입니다. 이 번역이 안 되면 문제 자체가 시작되지 않습니다.
  • f(3)≠0인 경우를 배제하지 않고 넘어간다
    경우를 나눈 뒤 한쪽을 모순으로 지우는 과정이 이 문제의 논리 뼈대입니다. 서술형이라면 “f(3)≠0이면 g가 x=3에서 연속이므로 조건에 어긋난다” 한 줄이 반드시 필요합니다.
  • f(3)=0일 때 g(3)을 분수식으로 계산한다
    f(x)=0인 지점에서 g의 값은 정의에 의해 3입니다. 분수식에 대입하려다 0으로 나누는 실수가 여기서 나옵니다. g(3)=3, 그래서 극한값은 2입니다.
  • f(3)=0이면 근처에서도 g=3이라고 착각한다
    삼차함수의 근은 많아야 3개이고 서로 떨어져 있으므로, x=3에 충분히 가까우면서 x≠3인 곳에서는 f(x)≠0입니다. 극한 계산에 쓸 식은 분수식 쪽입니다.
  • 분자가 0으로 가는 조건을 f(3)+1=0으로 잘못 잡는다
    f(6){f(3)+1}=0에서 f(3)=0이므로 f(3)+1=1입니다. 0이 될 수 있는 것은 f(6)뿐입니다. 이 한 걸음이 두 번째 근을 주는 핵심입니다.
  • f(x+3)에서 (x−3) 인수를 못 뽑는다
    f(x+3)=(x+3−3)(x+3−6)(x+3−a)=x(x−3)(x+3−a)입니다. 여기 숨어 있는 (x−3)이 분모의 (x−3)과 약분되어야 극한이 유한해집니다. 전개부터 하면 길을 잃습니다.
  • g(5)를 구할 때 f(5)를 확인하지 않는다
    g는 조각으로 정의된 함수입니다. f(5)=2·1·(−1)=−2≠0임을 확인해야 분수식 쪽을 쓸 수 있습니다. 또 분자는 f(5+3)=f(8)이지 f(5)가 아닙니다.


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