쎈미적분1 0229

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속

0229
난이도 상
역함수 그래프의 교점
사고의 기출

쎈 미적분1 0229번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

교점을 y=x 위에서만 찾으면 틀리는 문제 — 감소함수일 때가 본체

많은 학생이 “y=f(x)와 y=f⁻¹(x)의 교점은 y=x 위에 있다”를 규칙처럼 외웁니다. 그건 증가함수일 때만 맞는 말입니다. 이 문제는 교점의 x좌표를 −2, 1, 2 세 개로 주면서, 증가로는 조건을 못 맞춘다는 사실을 스스로 확인하고 감소함수로 넘어가게 만듭니다. 방향(부호)을 먼저 판정하는 것이 절반, 대칭으로 교점의 y좌표를 읽는 것이 나머지 절반입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 조건을 식이 아니라 성질로 읽기
“역함수를 갖는다”는 일대일대응, 즉 실수 전체에서 증가하거나 감소하거나 둘 중 하나라는 뜻입니다.
두 조각이 같은 방향이어야 하므로 부호 조합은 두 가지뿐입니다. a와 c의 부호로 어떤 두 경우가 남을까요?
힌트 2 — 증가 경우를 먼저 지우기
a>0, c>0이면 f는 증가함수이고, 이때 교점은 모두 직선 y=x 위에 있습니다. 그러면 f(1)=1이어야 합니다.
x≥1 조각은 cx²+3x이므로 f(1)=c+3. 여기서 c를 구해 보세요. 처음 가정과 충돌합니다.
힌트 3 — 감소함수의 교점 규칙
감소함수라면 교점 중 y=x 위에 있는 것은 최대 한 개, 나머지는 y=x에 대하여 서로 대칭입니다.
x좌표 −2, 1, 2 중 y=x 위의 점은 (1, 1)이고, 나머지 두 점은 짝을 이룹니다. (−2, α)와 (2, β)가 y=x 대칭이면 α와 β는 각각 무엇일까요?
힌트 4 — 식 두 개 세우기
교점 좌표가 (−2, 2), (1, 1), (2, −2)로 정해졌습니다. 이제 미지수 세 개에 대한 식이 필요합니다.
① f(−2)=2 → −2a+b=2
② x=1에서 연속 → a+b=f(1)=1
③ f(1)=1에서 c+3=1
①②를 연립해 a, b를 구하고, 마지막에 9ab−c를 계산하세요.

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 −2

쎈 미적분1 0229번 해설 1
쎈 미적분1 0229번 해설 2

더 빠른 길 — c를 한 줄에 잡기

대칭으로 교점 (2, −2)를 얻었다면, 이 점을 굳이 f(−2) 쪽으로 돌릴 필요가 없습니다. x=2는 x≥1 구간이므로 f(2)=4c+6=−2에서 c=−2가 바로 나옵니다.
그다음 f(1)=c+3=1이므로 연속조건에서 a+b=1, 그리고 f(−2)=−2a+b=2. 두 식을 빼면 3a=−1, 즉 a=−1/3, b=4/3. 9ab−c=9·(−1/3)·(4/3)+2=−2.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • “교점은 y=x 위에 있다”를 무조건 적용한다
    증가함수일 때만 성립합니다. 감소함수에서는 y=x 위의 교점이 많아야 한 개이고 나머지는 y=x에 대하여 대칭입니다. 교점이 3개인데 x좌표가 서로 다르게 주어졌다면 감소 쪽을 의심하세요.
  • 역함수 존재 조건을 그냥 넘어간다
    “역함수를 갖는다”는 곧 일대일대응입니다. 이 한 문장이 a>0·c>0 또는 a<0·c<0 두 경우로 좁혀 주는 유일한 근거입니다. 서술형이라면 이 줄이 첫 문장이어야 합니다.
  • 증가 경우를 검토하지 않고 바로 버린다
    답만 맞히면 된다는 생각에 감소로 직행하면, 왜 감소인지 설명하지 못합니다. f(1)=c+3=1에서 c=−2가 나와 c>0과 모순이라는 것이 증가를 배제하는 근거입니다.
  • x=1에서의 연속조건을 쓰지 않는다
    a, b, c 세 개를 정하려면 식이 세 개 필요합니다. 교점 조건만으로는 두 개뿐이고, 나머지 하나가 좌극한=함숫값, 즉 a+b=c+3입니다.
  • 9ab−c에서 부호를 흘린다
    c=−2이므로 −c=+2입니다. 9ab=−4까지 맞게 구하고도 −4−2=−6으로 답하는 경우가 가장 흔합니다. 대입할 때 괄호를 치고 쓰세요.
  • a, b를 구한 뒤 원래 함수로 검산하지 않는다
    f(x)=−x/3+4/3 (x<1), −2x²+3x (x≥1)이 실제로 감소하는지, f(−2)=2·f(2)=−2가 맞는지 30초면 확인됩니다. 부호 하나 잘못 잡은 답은 이 검산에서 반드시 걸립니다.


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