쎈미적분1 0219

작성자:

쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속

0219
대표 문제
사잇값 정리의 실생활 활용
풀이영상 있음

먼저 보고 싶다면

풀이영상 바로보기

쎈 미적분1 0219번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

속력을 연속함수 하나로 놓고, 0과 60을 오가는 구간이 몇 개인지 세라는 문제

사잇값 정리는 “두 끝값 사이의 값은 반드시 한 번 나온다”까지만 말해 줍니다. 그래서 “적어도 몇 번”을 묻는 순간, 문제는 정리의 적용이 아니라 구간 쪼개기로 바뀝니다. 정류장에 멈췄다는 말, 최고 속력이 60이라는 말이 각각 어떤 시각을 하나씩 만들어 주는지를 찾아내면 끝입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 말을 식으로 번역하기
A 출발 후 x시간이 지났을 때의 속력을 f(x)라 두세요. 시간에 따른 속력은 연속입니다.
이제 문제의 서술 중에서 f의 값이 0이 되는 시각이 몇 개인지 찾아보세요. 출발할 때, 중간에 멈췄을 때, 도착했을 때 — 속력이 얼마인가요?
힌트 2 — 60이 되는 시각도 있다
“최고 속력이 60″은 상한이 60이라는 뜻이 아니라 실제로 60에 도달한 시각이 존재한다는 뜻입니다.
그 시각을 A~B 구간에서 α, B~C 구간에서 β라 두면 f의 값은 시간 순서대로 0 → 60 → 0 → 60 → 0으로 바뀝니다. 구간이 몇 개로 나뉘었나요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
쪼개진 구간은 (0, α), (α, b), (b, β), (β, c)의 네 개입니다. 각 구간의 양 끝값은 0과 60이고, 20은 그 사이에 있습니다.
사잇값 정리를 네 번 쓰면 f(k)=20인 k가 구간마다 적어도 하나씩 존재합니다. 최소 보장 개수를 세면 됩니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ④  n = 4

쎈 미적분1 0219번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — 그래프로 세기

가로축을 시간, 세로축을 속력으로 두고 0에서 시작해 60까지 올라갔다 0으로 내려오고, 다시 60까지 올라갔다 0으로 내려오는 곡선을 손으로 그려 보세요.
거기에 y=20인 가로선을 그으면 교점이 눈으로 4개 세어집니다. 봉우리가 2개면 y=20과의 교점은 최소 4개 — 이 감각만 있으면 숫자가 바뀌어도 즉답할 수 있습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 구간을 A~B, B~C 두 개로만 보고 n=2라 답한다
    가장 많이 나오는 오답입니다. 한 구간 안에서도 속력이 0에서 60까지 올라갔다가 다시 0으로 내려오므로 구간은 두 개로 더 쪼개집니다. 봉우리 하나당 구간 두 개입니다.
  • “B 정류장에 멈춘다”를 속력 0으로 번역하지 않는다
    실생활 문장에서 조건을 뽑아내는 것이 이 유형의 절반입니다. 멈춤 = 속력 0, 출발 = 속력 0, 도착 = 속력 0. 이 세 줄을 먼저 적고 시작하세요.
  • “최고 속력 60″을 도달하지 않는 상한으로 읽는다
    최댓값이므로 그 값을 실제로 갖는 시각이 존재합니다. 여기서 α, β가 나오지 않으면 구간을 네 개로 쪼갤 수 없습니다.
  • 연속이라는 근거를 쓰지 않고 사잇값 정리를 적용한다
    사잇값 정리의 전제는 닫힌구간에서의 연속입니다. 서술형이라면 “속력은 시간에 대한 연속함수이므로”라는 한 줄이 반드시 들어가야 합니다.
  • 20이 두 끝값 사이에 있는지 확인하지 않는다
    0 < 20 < 60을 확인해야 각 구간에서 존재가 보장됩니다. 만약 문제가 20이 아니라 70을 물었다면 답은 완전히 달라집니다.
  • ‘적어도’를 ‘정확히’로 읽는다
    실제 횟수는 4번보다 많을 수 있습니다. 문제는 어떤 경우에도 보장되는 최소 개수를 묻고 있습니다.


다른 문항도 풀어보기 — 전체 목록 바로가기  ›

문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트

댓글 남기기