쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
0218
난이도 상
사잇값 정리
실근의 존재 증명
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실근의 존재 증명
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문제를 읽자마자
출제의도
전개하지 말고, a·b·c를 그대로 대입해서 부호를 읽어라
좌변은 전개하면 3x²−2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)인 이차식이라 판별식으로도 해결됩니다. 그런데 이 문제가 연속 단원에 실린 이유는 따로 있습니다. 세 항이 (x−a)(x−b) 꼴로 짝지어져 있어서 a, b, c를 대입하면 매번 두 항이 통째로 0이 됩니다. 남는 한 항의 부호가 +, −, +로 갈리도록 설계해 둔 것이 출제자의 장치입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 무엇을 대입할까
전개부터 하려 했다면 잠시 멈추세요. 좌변을 f(x)로 놓고, 문제에 이미 주어진 문자 a, b, c를 그대로 대입해 보세요.
x=a를 넣으면 세 항 중 몇 개가 0이 되나요? 다항함수이므로 f(x)가 모든 실수에서 연속이라는 점도 함께 확인해 두세요.
x=a를 넣으면 세 항 중 몇 개가 0이 되나요? 다항함수이므로 f(x)가 모든 실수에서 연속이라는 점도 함께 확인해 두세요.
힌트 2 — 부호 결정
f(a)=(a−b)(a−c)입니다. a<b<c이므로 두 인수 모두 음수, 곱은 양수.
같은 방식으로 f(b)와 f(c)를 구해 부호를 정하세요. 세 값 중 b에서만 부호가 다르게 나오는데, 왜 b만 그런지 인수의 부호를 하나씩 따져 보세요.
같은 방식으로 f(b)와 f(c)를 구해 부호를 정하세요. 세 값 중 b에서만 부호가 다르게 나오는데, 왜 b만 그런지 인수의 부호를 하나씩 따져 보세요.
힌트 3 — 마무리 문장
+, −, + 가 나왔다면 사잇값 정리에 의해 구간 (a, b)와 (b, c)에 각각 적어도 하나의 실근이 있습니다. 두 구간은 서로 겹치지 않으므로 그 두 근은 서로 다릅니다.
여기서 한 줄이 더 필요합니다. f(x)는 x²의 계수가 3인 이차식이므로 근은 많아야 두 개 — 그래서 “서로 다른 두 실근”으로 확정됩니다.
여기서 한 줄이 더 필요합니다. f(x)는 x²의 계수가 3인 이차식이므로 근은 많아야 두 개 — 그래서 “서로 다른 두 실근”으로 확정됩니다.
다 풀고 나서
해설
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정답 풀이 참조
더 빠른 길 — 판별식
전개하면 3x²−2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)=0이고,
D/4=(a+b+c)²−3(ab+bc+ca)=a²+b²+c²−ab−bc−ca=½{(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²}.
a, b, c가 서로 다르므로 이 값은 0보다 크고, 서로 다른 두 실근을 갖습니다. 계산은 짧지만 근이 어느 구간에 있는지는 알려 주지 않습니다. “구간까지 물으면 사잇값, 존재만 물으면 판별식”으로 갈라 쓰세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
보자마자 전개부터 한다
전개하는 순간 (x−a)(x−b) 짝의 구조가 사라집니다. 인수가 문자로 묶여 있고 대소 조건(a<b<c)이 붙어 있으면, 그 문자를 그대로 대입하라는 신호입니다. -
f(b)의 부호를 틀린다
f(b)=(b−c)(b−a)에서 b−c<0, b−a>0이므로 음수입니다. 인수 중 하나만 음수가 되는 자리가 가운데 값 b이고, 이 한 자리 때문에 부호가 +, −, +로 갈립니다. -
이차식이라는 말을 빠뜨린다
사잇값 정리만으로는 “적어도 두 개”까지입니다. 최고차항의 계수가 3인 이차식이라 근이 많아야 두 개라는 문장이 있어야 “서로 다른 두 실근”이 됩니다. 서술형 배점이 걸린 줄입니다. -
두 근이 서로 다른 이유를 안 쓴다
구간 (a, b)와 (b, c)가 공통부분을 갖지 않는다는 진술이 있어야 두 근이 다르다고 말할 수 있습니다. 구간만 두 개 제시하고 끝내면 감점입니다. -
f(x)의 연속성을 언급하지 않는다
다항함수이므로 모든 실수에서 연속 — 이 전제가 있어야 사잇값 정리를 적용할 수 있습니다. 증명 문제에서는 전제부터 적고 시작하세요.
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