쎈미적분1 0220

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속

0220
난이도 중
사잇값 정리의 실생활 활용
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쎈 미적분1 0220번 문제

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출제의도

사잇값 정리가 보장하는 것은 사이에 있는 값, 그것도 적어도 한 곳뿐

선택지 다섯 개가 딱 두 가지만 물고 늘어집니다. 첫째, 그 속력이 두 지점의 속력 사이에 있는가. 둘째, 보장되는 개수가 한 곳인가 두 곳인가. “항상 옳은 것”을 고르라 했으므로, 하나라도 반례가 그려지면 그 선택지는 즉시 탈락입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 세 숫자를 먼저 적어라
A에서 100, B에서 120, C에서 80. 이 세 값만 주어졌고 그 사이에서 속력이 어떻게 오르내렸는지는 아무도 모릅니다.
따라서 판단 기준은 하나뿐입니다. 선택지의 속력이 그 구간 양 끝값 사이에 있는가? 각 선택지를 이 기준으로만 걸러 보세요.
힌트 2 — 개수는 별개의 문제다
사잇값 정리가 주는 것은 “적어도 한 곳”입니다. 두 곳을 보장받으려면 그런 구간이 서로 다른 두 개 필요합니다.
구간 AB 하나만 가지고 “두 곳”이라 말할 수 있을까요? 단조증가하는 그래프를 하나 상상해 보면 답이 나옵니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
110은 100과 120 사이에도 있고, 120과 80 사이에도 있습니다. 즉 구간 AB에서 한 곳, BC에서 한 곳이 각각 보장됩니다.
그리고 구간 AC는 AB와 BC를 합친 구간입니다. 그러면 AC에서는 최소 몇 곳인가요?

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

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정답 ⑤

쎈 미적분1 0220번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — 반례 그래프 하나로 네 개 지우기

A에서 B까지 100 → 120으로 곧게 올라가고, B에서 C까지 120 → 80으로 곧게 내려가는 꺾은선 하나를 그려 보세요.
이 그래프에서 110인 지점은 AB에 딱 하나, BC에 딱 하나뿐이고 130인 지점은 아예 없으며 90인 지점도 BC에 하나뿐입니다. 이 그림 한 장으로 ①②③④가 동시에 반례를 맞습니다. 남는 것은 ⑤ 하나입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • “적어도 한 곳”을 “두 곳”으로 늘려 읽는다
    이 문제 오답의 대부분이 여기서 나옵니다. 사잇값 정리는 존재만 보장하고 개수는 보장하지 않습니다. 두 곳을 주장하려면 서로 겹치지 않는 두 구간을 직접 제시해야 합니다.
  • 구간 밖의 값도 나온다고 착각한다
    130은 100과 120 어느 쪽보다도 큽니다. 중간에 130까지 올라갔다 내려왔을 수도 있지만 그러지 않았을 수도 있으므로 ‘항상 옳다’가 될 수 없습니다.
  • 구간 AC를 통째로 하나로만 본다
    AC의 양 끝값은 100과 80입니다. 이것만 보면 110은 사이에 없어 보이죠. 하지만 AC는 AB와 BC로 쪼갤 수 있고, 쪼개면 각각에서 하나씩 나옵니다. 중간 지점 B가 주어진 이유가 이것입니다.
  • 속력이 연속임을 근거로 쓰지 않는다
    기차의 속력은 시간에 대해 연속으로 변합니다. 이 전제가 없으면 사잇값 정리 자체를 쓸 수 없습니다. 서술형에서는 반드시 첫 줄에 적으세요.
  • ‘항상 옳은 것’과 ‘가능한 것’을 섞는다
    ①③④는 그런 상황이 실제로 있을 수는 있지만 언제나 그렇지는 않습니다. 반례가 하나라도 그려지면 탈락 — 이 기준을 선택지마다 똑같이 적용하세요.
  • 구간 이름을 헷갈린다
    AB의 끝값은 100·120, BC는 120·80입니다. 표로 두 줄만 적어 놓고 선택지를 대조하면 실수가 사라집니다.


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