쎈미적분1 0217

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속

0217
난이도 중
사잇값 정리
방정식의 실근
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쎈 미적분1 0217번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

두 그래프의 교점 문제를 차 함수 하나의 부호 문제로 바꿔라

f(x)의 식은 끝까지 주어지지 않습니다. 주어진 것은 네 점의 좌표뿐이고, 식을 모르는 채로 교점의 존재를 확정할 수 있는 도구는 사잇값 정리 하나입니다. g(x)=f(x)−x²로 묶어 네 점에서의 부호만 읽으면 계산은 끝나고, 진짜 승부는 보기 다섯 개 중 세 개를 “판단할 수 없음”으로 걸러내는 데서 갈립니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 방향부터 잡기
두 그래프를 각각 그려 보려 하고 있다면 멈추세요. 식을 모르는 f(x)는 그릴 수 없습니다.
교점은 f(x)=x²인 x입니다. g(x)=f(x)−x²로 한 덩어리로 묶으면, 이 문제는 무엇을 찾는 문제로 바뀌나요? 그리고 g(x)가 연속이라고 말할 수 있는 근거는 무엇인가요?
힌트 2 — 부호 읽기
주어진 네 점을 그대로 대입하면 g(1), g(2), g(3), g(4)를 전부 구할 수 있습니다. 함숫값에서 1, 4, 9, 16을 빼기만 하면 됩니다.
네 값의 부호를 왼쪽부터 순서대로 적어 보세요. 부호가 바뀌는 자리는 몇 군데인가요?
힌트 3 — 걸러내기
사잇값 정리는 양 끝의 부호가 다를 때만 근의 존재를 보장합니다. g(3)>0, g(4)>0인 구간 (3, 4)는 “교점이 없다”가 아니라 “반드시 있다고는 말할 수 없다”입니다. 문제가 물은 것은 반드시 존재하는 구간입니다.
ㄱ, ㅁ처럼 끝이 무한대인 구간은 함숫값 정보가 하나도 없으므로 애초에 판단 대상이 아닙니다.

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 ㄴ, ㄷ

쎈 미적분1 0217번 해설

같은 이야기, 다른 표현 — 위아래 뒤집힘으로 보기

x=1에서 f는 x² 위에 있고(2>1), x=2에서 아래로 내려가고(3<4), x=3에서 다시 위로 올라옵니다(10>9). x=4에서도 위(20>16).
연속인 두 함수의 위아래가 뒤집히려면 그 사이 어딘가에서 반드시 만나야 합니다. 뒤집힌 구간은 (1, 2)와 (2, 3) 두 곳뿐이고, (3, 4)는 계속 f가 위에 있으므로 만난다는 보장이 없습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 두 그래프를 각각 상상하려 든다
    식이 없는 f(x)는 그릴 수 없습니다. 교점·실근을 묻는 사잇값 정리 문제는 예외 없이 “한 함수의 부호”로 바꾸는 것이 첫 동작이어야 합니다.
  • (3, 4)를 답에 넣는다
    g(3)=1>0, g(4)=4>0으로 부호가 같습니다. 실제로 교점이 있을 수도 있지만, 문제가 물은 것은 “반드시 존재하는” 구간입니다. 보장되지 않으면 답이 아닙니다.
  • ㄱ, ㅁ을 진지하게 따져 본다
    (−∞, 1)과 (4, ∞)에서는 f의 함숫값을 단 하나도 모릅니다. 정보가 없는 구간은 검토 대상이 아니라 제외 대상입니다.
  • g(x)가 연속임을 쓰지 않고 넘어간다
    f(x)가 연속이고 x²이 연속이므로 두 함수의 차인 g(x)도 연속입니다. 서술형에서 이 한 줄이 사잇값 정리를 쓸 수 있게 해 주는 근거입니다.
  • 부호가 바뀌면 근이 “정확히 하나”라고 단정한다
    사잇값 정리가 보장하는 것은 “적어도 하나”입니다. 개수를 묻는 문제였다면 증가·감소 같은 다른 근거가 추가로 필요합니다.


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