쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속 · 유형 11 사잇값 정리; 실근의 개수
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출제의도
극한 조건으로 인수 두 개를 뽑아내고, 남은 몫 Q(x)에 사잇값 정리를 쓰라는 문제
사잇값 정리 문제인데 정작 f의 함숫값은 하나도 주어지지 않습니다. 대신 분모가 0으로 가는데 극한이 유한하다는 조건이 두 개 있고, 여기서 f(−1) = 0, f(3) = 0이 나옵니다. 인수를 떼어내고 나면 부호를 비교할 대상은 f가 아니라 몫 Q(x)가 됩니다. 그리고 답을 고르는 마지막 순간, 구간이 닫힌구간이 아니라 열린구간 (−1, 3)이라는 점이 정답을 가릅니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 극한 조건 번역하기
조건 ㈎에서 x → −1일 때 분모 x+1은 0으로 갑니다. 그런데 극한값이 1/2로 유한합니다.
분자가 0으로 가지 않으면 이 극한은 발산합니다. 따라서 f(−1) = 0. 같은 논리로 조건 ㈏에서 f(3) = 0입니다.
분자가 0으로 가지 않으면 이 극한은 발산합니다. 따라서 f(−1) = 0. 같은 논리로 조건 ㈏에서 f(3) = 0입니다.
힌트 2 — 인수로 바꿔 쓰기
f는 다항함수이고 f(−1) = f(3) = 0이므로 인수정리에 의해 f(x) = (x+1)(x−3)Q(x) (Q는 다항함수)로 놓을 수 있습니다.
이 식을 두 조건에 각각 대입해 약분하면 Q(−1)과 Q(3)의 값이 나옵니다. 부호가 어떻게 되나요?
이 식을 두 조건에 각각 대입해 약분하면 Q(−1)과 Q(3)의 값이 나옵니다. 부호가 어떻게 되나요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
Q(−1) = −1/8, Q(3) = 1/8이므로 Q(−1)Q(3) < 0입니다. Q는 다항함수라 모든 실수에서 연속이므로 사잇값 정리에 의해 (−1, 3)에 Q(x) = 0인 x가 적어도 하나 있고, 그 x는 f(x) = 0의 근이기도 합니다.
여기서 멈추고 선지를 보세요. x = −1과 x = 3은 열린구간 (−1, 3)에 포함되지 않습니다.
여기서 멈추고 선지를 보세요. x = −1과 x = 3은 열린구간 (−1, 3)에 포함되지 않습니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ① 적어도 1개
답이 1개임을 확인하는 방법 — 실제 예 하나 만들기
Q를 일차식 ax + b로 놓고 Q(−1) = −1/8, Q(3) = 1/8을 풀면 a = 1/16, b = −1/16, 즉 Q(x) = (x−1)/16입니다.
이때 f(x) = (x+1)(x−3)(x−1)/16은 두 조건을 모두 만족하고, 구간 (−1, 3)에서 근은 x = 1 하나뿐입니다.
즉 “적어도 2개”는 성립할 수 없고 보장되는 최소 개수는 정확히 1개입니다. 선지가 헷갈릴 때 이런 예를 하나 만들어 보면 곧바로 확정됩니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
x = −1, x = 3을 근으로 세어 3개라고 답한다
이 문제의 최대 함정입니다. f(−1) = f(3) = 0인 것은 맞지만, 묻는 구간은 양 끝을 포함하지 않는 열린구간 (−1, 3)입니다. 답을 고르기 직전에 괄호 모양을 다시 보세요. -
f(−1) = 0의 근거를 적지 않고 바로 인수분해한다
“분모 → 0인데 극한이 유한하므로 분자 → 0″이 유일한 근거입니다. 이 한 줄 없이 f(x) = (x+1)(x−3)Q(x)를 쓰면 논리가 비어 있습니다. -
약분하기 전에 x에 값을 대입한다
(x+1)(x−3)Q(x) / (x+1)에서 x+1을 먼저 약분하고 나서 x → −1을 넣어야 합니다. 순서를 바꾸면 0/0이 됩니다. -
Q(−1), Q(3)을 구할 때 남은 인수의 값을 흘린다
㈎에서는 (x−3) → −4, ㈏에서는 (x+1) → 4가 곱해집니다. 부호와 4를 챙기지 않으면 Q(−1)Q(3) > 0이라는 엉뚱한 결론이 나옵니다. -
Q의 근이 f의 근이라는 연결을 빠뜨린다
사잇값 정리를 적용한 대상은 Q이지 f가 아닙니다. f(x) = (x+1)(x−3)Q(x)이므로 Q(c) = 0이면 f(c) = 0이라는 마무리 문장이 필요합니다.
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