쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속 · 유형 11 사잇값 정리; 실근의 개수
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서술형
사잇값 정리 + 대칭
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출제의도
사잇값 정리로 오른쪽 2개를 찾고, f(x) = f(−x)로 왼쪽 2개를 복사하라는 문제
조건이 세 줄인데 그중 f(x) = f(−x)를 쓰지 않으면 답은 2개가 나옵니다. 답이 2개로 깔끔하게 떨어지기 때문에 조건 하나를 버린 것을 알아채기 어렵습니다. 주어진 조건은 반드시 전부 소모된다 — 이 감각을 훈련시키려는 문항이고, 서술형이므로 대칭을 쓴 근거 줄이 곧 배점입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 확실한 것부터
f(1)f(2) < 0은 f(1)과 f(2)의 부호가 다르다는 뜻입니다. f가 연속이므로 구간 (1, 2)에 f(x) = 0인 x가 적어도 하나 있습니다. f(3)f(4) < 0도 마찬가지입니다.
여기까지 근 2개. 그런데 아직 쓰지 않은 조건이 하나 남아 있습니다.
여기까지 근 2개. 그런데 아직 쓰지 않은 조건이 하나 남아 있습니다.
힌트 2 — 남은 조건 꺼내기
f(x) = f(−x)는 그래프가 y축에 대칭이라는 뜻입니다. 즉 f(−1) = f(1), f(−2) = f(2)입니다.
그렇다면 f(−1)f(−2)의 부호는 f(1)f(2)의 부호와 같습니다. 이 곱이 음수라면 어느 구간에 근이 생기나요?
그렇다면 f(−1)f(−2)의 부호는 f(1)f(2)의 부호와 같습니다. 이 곱이 음수라면 어느 구간에 근이 생기나요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(−1)f(−2) < 0, f(−3)f(−4) < 0이므로 (−2, −1)과 (−4, −3)에도 근이 각각 하나 이상 있습니다.
네 구간 (−4, −3), (−2, −1), (1, 2), (3, 4)는 서로 겹치지 않으므로 근을 그대로 더할 수 있습니다. 서술형이니 ① 오른쪽 두 구간 ② 대칭으로 얻은 왼쪽 두 구간 ③ 합해서 결론 — 세 단계를 각각 문장으로 남기세요.
네 구간 (−4, −3), (−2, −1), (1, 2), (3, 4)는 서로 겹치지 않으므로 근을 그대로 더할 수 있습니다. 서술형이니 ① 오른쪽 두 구간 ② 대칭으로 얻은 왼쪽 두 구간 ③ 합해서 결론 — 세 단계를 각각 문장으로 남기세요.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 4개
같은 결론을 그림으로 — 근의 대칭
y축 대칭인 함수는 x = a가 근이면 x = −a도 반드시 근입니다. f(−a) = f(a) = 0이기 때문입니다.
오른쪽에서 (1, 2), (3, 4)에 근을 하나씩 확보했으므로, 그 두 근을 y축 너머로 넘긴 −a꼴의 근이 왼쪽에 하나씩 더 있습니다. 2 × 2 = 4개.
다만 x = 0이 근인지는 알 수 없으므로 개수에 넣지 않습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(x) = f(−x)를 쓰지 않고 2개라고 답한다
가장 많이 나오는 오답입니다. 조건이 세 줄이면 세 줄 모두 답에 반영되어야 합니다. 다 풀고 나서 쓰지 않은 조건이 남아 있는지 되짚는 습관을 만드세요. -
f(−1) = f(1), f(−2) = f(2)라는 줄을 생략한다
채점 기준에서 왼쪽 두 구간을 잡아내는 부분이 40%입니다. 대칭이니까 당연하다고 넘기지 말고, 등식 두 개를 근거로 명시한 뒤 f(−1)f(−2) < 0을 적으세요. -
네 구간이 겹치지 않는지 확인하지 않는다
겹치는 구간의 근은 같은 근일 수 있어 그냥 더할 수 없습니다. (−4, −3), (−2, −1), (1, 2), (3, 4)가 서로소임을 한 번 훑고 더하세요. -
x = 0에서도 근이 있다고 5개로 답한다
우함수라고 해서 f(0) = 0인 것은 아닙니다. f(0)의 부호에 대한 정보가 문제에 전혀 없으므로 근거 없는 추가입니다. -
결론에서 “적어도”를 빠뜨린다
“실근은 4개이다”라고 단정하면 감점 대상입니다. 마지막 줄은 반드시 “적어도 4개의 실근을 갖는다”로 마무리하세요.