쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속 · 유형 11 사잇값 정리; 실근의 개수
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대표문제
사잇값 정리
풀이영상 있음
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문제를 읽자마자
출제의도
함숫값을 부호로만 바꿔 적고, 부호가 뒤집히는 구간의 개수를 세라는 문제
여섯 개의 함숫값이 주어졌지만 이 값들의 크기는 전혀 중요하지 않습니다. 필요한 정보는 오직 양수인지 음수인지뿐입니다. 사잇값 정리를 처음 쓰는 자리이므로, 정리의 결론을 “부호가 바뀌면 그 사이에 근이 있다” 한 줄로 압축해 두는 것이 이 유형 전체의 출발점입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
그래프의 모양을 상상하려 하고 있다면 멈추세요. 여섯 점만으로 그래프를 그릴 수는 없습니다.
대신 x = −2, −1, 0, 1, 2, 3 순서대로 부호만 한 줄로 적어 보세요. −1은 (−), 1은 (+) 하는 식입니다.
대신 x = −2, −1, 0, 1, 2, 3 순서대로 부호만 한 줄로 적어 보세요. −1은 (−), 1은 (+) 하는 식입니다.
힌트 2 — 부호가 뒤집히는 자리
부호를 적으면 − + + − + + 가 됩니다. f가 연속이므로, 이웃한 두 점의 부호가 서로 다르면 그 사이 구간에 f(x)=0인 x가 반드시 하나 이상 존재합니다.
이웃한 다섯 쌍 가운데 부호가 서로 다른 쌍은 몇 개인가요?
이웃한 다섯 쌍 가운데 부호가 서로 다른 쌍은 몇 개인가요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
부호가 뒤집히는 구간은 (−2, −1), (0, 1), (1, 2) 세 곳입니다. 세 구간은 서로 겹치지 않으므로 근을 그대로 합해서 셀 수 있습니다.
부호가 같은 구간에도 근이 있을 수는 있지만 보장되지는 않습니다. 문제가 “적어도 n개”라고 물은 이유가 여기에 있습니다.
부호가 같은 구간에도 근이 있을 수는 있지만 보장되지는 않습니다. 문제가 “적어도 n개”라고 물은 이유가 여기에 있습니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ② n = 3
더 빠른 길 — 이웃한 두 값의 곱만 계산
부호를 따로 적는 대신 이웃한 값끼리 곱해 음수인 것만 세면 됩니다.
f(−2)f(−1) = −1 < 0, f(−1)f(0) = 2 > 0, f(0)f(1) = −2 < 0, f(1)f(2) = −2 < 0, f(2)f(3) = 8 > 0.
음수가 세 개이므로 n = 3. 곱셈 다섯 번으로 끝나며, 부호를 옮겨 적다가 실수할 일이 없습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
“적어도 n개”를 “정확히 n개”로 읽는다
실제 근은 5개일 수도 있습니다. 문제가 묻는 것은 주어진 정보만으로 반드시 보장되는 최소 개수입니다. 이 유형은 문장 자체가 채점 포인트입니다. -
부호가 같은 구간까지 세어 넣는다
(−1, 0)이나 (2, 3)에도 근이 있을 수는 있지만 사잇값 정리로는 아무것도 보장되지 않습니다. 보장되지 않으면 세지 않습니다. -
(1, 2) 구간을 빠뜨린다
f(1) = −1에서 f(2) = 2로 넘어가는 자리가 가장 자주 누락됩니다. 부호를 한 줄로 적고 인접한 쌍을 왼쪽부터 순서대로 훑으세요. -
연속함수라는 조건을 근거로 쓰지 않는다
사잇값 정리는 연속일 때만 성립합니다. 불연속이면 부호가 바뀌어도 근이 없을 수 있습니다. 서술형이라면 “f가 연속이므로”가 첫 줄에 있어야 합니다. -
주어진 범위 밖까지 상상한다
x < −2, x > 3에서는 함숫값 정보가 하나도 없습니다. 판단 근거가 있는 구간은 −2 ≤ x ≤ 3뿐입니다.