쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
0213
난이도 중
사잇값 정리
실근의 존재
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문제를 읽자마자
출제의도
세 함수에 똑같은 절차를 세 번 반복시켜, 사잇값 정리의 두 조건을 정말 확인하는지 보는 문제
절댓값, 무리식, 분수식 — 겉모습만 다를 뿐 할 일은 매번 같습니다. ① 구간 [1, 2]에서 연속인가 ② f(1)과 f(2)의 부호가 서로 다른가. 함수 모양을 바꿔 가며 묻는 이유는 ①에서 걸러지는 보기가 있는지 학생이 스스로 점검하는지를 보려는 것이고, ㄷ에는 부호 순서를 뒤집어 놓아 “양수 다음 음수”도 조건을 만족한다는 걸 아는지 확인합니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 절차 고정하기
세 보기를 각각 다르게 접근하려 하지 마세요. 좌변을 f(x), g(x), h(x)로 놓고 매번 같은 두 가지만 확인하면 됩니다.
① 구간 [1, 2]에서 연속인가? ② 양 끝 함숫값의 부호가 서로 다른가?
① 구간 [1, 2]에서 연속인가? ② 양 끝 함숫값의 부호가 서로 다른가?
힌트 2 — 연속부터 걸러 보기
ㄱ의 절댓값 함수는 실수 전체에서 연속입니다. ㄴ은 근호 안이 4x−1 ≥ 0이어야 하는데 [1, 2]에서는 항상 양수입니다. ㄷ은 3x−1 ≠ 0, 즉 x ≠ 1/3인데 1/3은 [1, 2] 밖입니다.
세 보기 모두 연속 조건은 통과합니다. 그렇다면 승부는 ②에서 갈립니다.
세 보기 모두 연속 조건은 통과합니다. 그렇다면 승부는 ②에서 갈립니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
양 끝을 대입하세요. ㄱ: f(1)=−1, f(2)=1. ㄴ: g(1)=√3−2, g(2)=√7−2 — √3 < 2 < √7이므로 부호가 갈립니다. ㄷ: h(1)=1, h(2)=−1/5.
ㄷ만 양수 → 음수 순서인데, 사잇값 정리가 요구하는 것은 부호가 “다르다”이지 “음수에서 양수로”가 아닙니다.
ㄷ만 양수 → 음수 순서인데, 사잇값 정리가 요구하는 것은 부호가 “다르다”이지 “음수에서 양수로”가 아닙니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ㄱ, ㄴ, ㄷ
검산용 — 근을 직접 구해 보기
이 문항은 세 보기 모두 근이 손으로 구해집니다. ㄱ: |2x−1|=2에서 x=3/2. ㄴ: 4x−1=4에서 x=5/4. ㄷ: 3x−1=4에서 x=5/3.
모두 1과 2 사이에 있으니 답이 ㄱ, ㄴ, ㄷ임이 다시 확인됩니다. 다만 이건 어디까지나 검산용입니다. 근이 구해지지 않는 고차·초월방정식이 나오면 쓸 수 없으므로, 답안은 반드시 사잇값 정리 절차로 쓰세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
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ㄷ을 부호 순서 때문에 탈락시킨다
h(1) > 0, h(2) < 0도 조건을 만족합니다. 사잇값 정리의 요건은 f(a)f(b) < 0, 즉 부호가 서로 다르다는 것뿐이고 방향은 상관없습니다. -
연속 여부를 확인하지 않고 대입부터 한다
ㄴ의 근호 안, ㄷ의 분모는 반드시 짚어야 할 자리입니다. 4x−1 ≥ 0, 3x−1 ≠ 0을 [1, 2]에서 점검한 뒤에야 대입할 자격이 생깁니다. -
ㄷ의 불연속점 x=1/3을 구간 안이라고 착각한다
1/3은 1보다 작으므로 [1, 2] 바깥입니다. 불연속점이 나오면 값만 구하지 말고 항상 주어진 구간 안인지 밖인지까지 판정하세요. -
무리수 √3, √7의 크기를 감으로 비교한다
2=√4를 끼워 넣어 √3 < √4 < √7로 쓰면 부등호가 한눈에 정리됩니다. g(1)=√3−2 < 0, g(2)=√7−2 > 0. -
사잇값 정리로 근의 개수를 단정한다
이 정리가 보장하는 것은 “적어도 하나”입니다. 개수를 묻는 문항이 아니라면 존재까지만 말하고 멈추세요.