쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
0212
난이도 중
사잇값 정리
두 곡선의 교점
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문제를 읽자마자
출제의도
교점 문제를 차 함수 하나로 바꿔서 사잇값 정리를 쓰라는 문제
곡선이 두 개라 어렵게 보이지만, 사잇값 정리는 함수가 하나일 때만 쓸 수 있는 도구입니다. 그래서 첫 동작은 정해져 있습니다 — h(x)=f(x)−g(x)로 묶는 것. 그 순간 “두 곡선의 교점”은 “방정식 h(x)=0의 실근”으로 바뀌고, 남는 일은 h(0)과 h(1)의 부호를 확인하는 대입 계산뿐입니다. 4차식이라 그래프를 그릴 수도, 근을 구할 수도 없다는 점이 오히려 “사잇값 정리를 쓰라”는 신호입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
−x⁴+6x³+5x²−1 = x³+2x+4를 풀려고 하고 있다면 멈추세요. 4차방정식의 근은 구할 수 없고, 문제도 “구하시오”가 아니라 “가짐을 보이시오”라고 했습니다.
교점이 있다는 말을 방정식 한 개의 언어로 바꾸면 무엇이 될까요?
교점이 있다는 말을 방정식 한 개의 언어로 바꾸면 무엇이 될까요?
힌트 2 — 함수 하나로 묶기
두 곡선의 교점의 x좌표는 f(x)=g(x), 즉 f(x)−g(x)=0의 실근과 같습니다. 그러니 h(x)=f(x)−g(x)로 두세요.
계수를 하나씩 빼면 h(x)=−x⁴+5x³+5x²−2x−5가 됩니다. 다항함수이므로 구간 [0, 1]에서 연속이라는 말도 반드시 함께 적습니다.
계수를 하나씩 빼면 h(x)=−x⁴+5x³+5x²−2x−5가 됩니다. 다항함수이므로 구간 [0, 1]에서 연속이라는 말도 반드시 함께 적습니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
이제 양 끝만 대입합니다. h(0)=−5 < 0, h(1)=−1+5+5−2−5=2 > 0.
부호가 반대이므로 사잇값 정리에 의해 h(c)=0인 c가 (0, 1)에 적어도 하나 존재합니다. 마지막에 h(c)=0을 f(c)=g(c)로 되돌려 “따라서 교점이 존재한다”까지 써야 답안이 닫힙니다.
부호가 반대이므로 사잇값 정리에 의해 h(c)=0인 c가 (0, 1)에 적어도 하나 존재합니다. 마지막에 h(c)=0을 f(c)=g(c)로 되돌려 “따라서 교점이 존재한다”까지 써야 답안이 닫힙니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 풀이 참조
기억할 한 문장 — 두 곡선의 교점
두 곡선 y=f(x), y=g(x)의 교점의 x좌표는 방정식 f(x)=g(x), 즉 f(x)−g(x)=0의 실근과 같습니다.
“교점이 있음을 보여라”가 나오면 그래프를 그리려 들지 말고 이 문장 하나로 h(x)를 만드는 것이 정석입니다. 뺄셈 방향은 h=f−g든 h=g−f든 상관없습니다. 부호가 통째로 뒤집힐 뿐 부호가 서로 다르다는 사실은 그대로이기 때문입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
두 곡선을 각각 다루려 한다
사잇값 정리는 함수 하나에 대한 정리입니다. 곡선이 둘이면 반드시 h(x)=f(x)−g(x) 한 개로 묶은 다음에야 정리를 꺼낼 수 있습니다. -
h(x)를 만들면서 부호를 흘린다
−1−4=−5, −x³이 되는 자리 등 뺄셈에서 부호 실수가 가장 많이 납니다. h(x)=−x⁴+5x³+5x²−2x−5를 적은 뒤 x=1을 넣어 2가 나오는지로 검산하세요. -
“연속이다”라는 문장을 빼먹는다
사잇값 정리의 전제는 닫힌구간에서의 연속입니다. h(x)는 다항함수이므로 구간 [0, 1]에서 연속이라는 한 줄이 있어야 정리를 쓸 자격이 생깁니다. -
열린구간과 닫힌구간을 뒤섞어 쓴다
연속은 닫힌구간 [0, 1]에서 확인하고, 근이 존재하는 곳은 열린구간 (0, 1)입니다. 문제가 0 < x < 1을 요구했으므로 결론의 괄호를 소괄호로 맞추세요. -
h(c)=0에서 답안을 끝낸다
문제가 물은 것은 h의 근이 아니라 두 곡선의 교점입니다. f(c)−g(c)=0 ⟹ f(c)=g(c) ⟹ 교점이 존재한다, 이 되돌리는 한 줄까지 써야 증명이 완결됩니다.