쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
0211
서술형
사잇값 정리
실근의 존재 조건
풀이영상 있음
서술형
사잇값 정리
실근의 존재 조건
풀이영상 있음
먼저 보고 싶다면
풀이영상
문제를 읽자마자
출제의도
사잇값 정리를 거꾸로 쓰는 문제 — 실근의 존재를 보이는 게 아니라, 실근이 존재하도록 a의 조건을 잡는다
앞 문항들이 “실근이 있음을 보여라”였다면 이 문항은 방향이 반대입니다. 구간 (−2, 3)에서 중근이 아닌 실근이 딱 하나 생기려면 양 끝에서 함숫값의 부호가 서로 달라야 하므로, 출발점은 오직 한 줄 f(−2)f(3) < 0입니다. 그 뒤는 이차부등식 풀이와 정수 개수 세기라는 계산 작업이고, 서술형이므로 이 한 줄을 근거와 함께 적었는지가 배점의 60%를 가릅니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 그림부터 그리기
x=−2와 x=3 두 점만 좌표평면에 찍어 보세요. 연속인 그래프가 이 두 점을 잇는데 x축을 딱 한 번만, 스치지 않고 뚫고 지나가려면 두 점이 x축을 기준으로 어느 쪽에 있어야 할까요?
“중근이 아니다”는 곧 “스치지 않고 뚫고 지나간다”는 뜻입니다.
“중근이 아니다”는 곧 “스치지 않고 뚫고 지나간다”는 뜻입니다.
힌트 2 — 식으로 옮기기
두 점이 x축의 반대편에 있다 ⟹ 부호가 서로 다르다 ⟹ f(−2)f(3) < 0.
이제 f(−2)와 f(3)을 a로 나타내 대입하면 a에 대한 이차부등식이 하나 나옵니다. 정리하면 (a−2)(a+4) < 0 꼴이 됩니다.
이제 f(−2)와 f(3)을 a로 나타내 대입하면 a에 대한 이차부등식이 하나 나옵니다. 정리하면 (a−2)(a+4) < 0 꼴이 됩니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
(a−2)(a+4) < 0을 풀면 −4 < a < 2입니다. 여기서 멈추면 안 됩니다.
문제가 물은 것은 a의 범위가 아니라 정수 a의 개수입니다. 양 끝 −4와 2가 포함되지 않는다는 점에 주의해서 하나씩 적어 보세요.
문제가 물은 것은 a의 범위가 아니라 정수 a의 개수입니다. 양 끝 −4와 2가 포함되지 않는다는 점에 주의해서 하나씩 적어 보세요.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 5
채점 포인트 — 배점이 어디에 걸려 있나
① 중근이 아닌 오직 하나의 실근을 가질 조건이 f(−2)f(3) < 0임을 밝히는 부분 60%
② 부등식을 풀어 a의 범위를 구하는 부분 20%
③ 그 범위 안의 정수 a의 개수를 구하는 부분 20%
답만 5라고 적으면 20%입니다. ①을 “사잇값 정리에 의하여”라는 근거와 함께 문장으로 쓰는 연습을 하세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(−2)f(3) < 0을 쓰고도 근거를 안 적는다
서술형에서 가장 큰 배점이 걸린 줄입니다. “사잇값 정리에 의하여”라는 다섯 글자가 빠지면 결론만 던진 답안이 됩니다. -
부등호를 ≤로 쓴다
등호가 붙는 순간 f(−2)=0 또는 f(3)=0, 즉 근이 구간의 끝점에 오게 됩니다. 문제는 열린구간 (−2, 3)을 요구했으므로 등호는 들어갈 자리가 없습니다. -
“중근이 아닌”을 그냥 흘려 읽는다
이 조건이 있어야 부호 변화가 곧 근의 개수 1개와 대응됩니다. 중근이면 그래프가 x축에 닿았다 되돌아가므로 f(−2)f(3) > 0이 되어 조건이 완전히 달라집니다. -
−4 < a < 2까지만 구하고 멈춘다
배점 20%를 남겨 두고 끝내는 셈입니다. 문제가 요구한 것은 정수의 개수이므로 −3, −2, −1, 0, 1을 실제로 나열한 뒤 5라고 적으세요. -
정수를 셀 때 끝값 −4와 2를 포함시킨다
부등호가 <이므로 −4와 2는 제외입니다. 습관적으로 넣으면 답이 7이 되어 통째로 틀립니다.