쎈미적분1 0189

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속

0189
난이도 중
연속과 미정계수
무리식 유리화
풀이영상 있음

쎈 미적분1 0189번 문제

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문제를 읽자마자

출제의도

분모가 0으로 가는데 극한값이 있다면, 분자도 0으로 간다

x=−1에서만 연속을 따지면 되는 문제입니다. 분모 x+1은 확실히 0으로 가는데 극한값이 −1로 존재한다고 했으니, 분자 √(x²+a)+b도 0으로 가야 합니다. 이 한 줄이 b를 만들어 주고, 남은 계산은 무리식 유리화뿐입니다. 미지수가 두 개라 겁먹기 쉽지만, 조건이 두 줄로 따로 나옵니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 검사할 지점은 딱 하나
x≠−1에서는 분모가 0이 아니므로 f(x)는 이미 연속입니다. 따라서 “모든 실수에서 연속”이라는 말은 사실상 x=−1에서 연속이라는 뜻 하나입니다.
연속의 정의를 식으로 쓰면 limx→−1 f(x) = f(−1) = −1. 여기서 출발하세요.
힌트 2 — b를 먼저 뽑아낸다
x→−1일 때 분모 x+1 → 0입니다. 그런데 전체 극한값은 −1이라는 유한한 값으로 존재합니다.
분자가 0이 아닌 값으로 간다면 극한은 발산해 버립니다. 그러므로 분자 → 0이어야 하고, √(1+a)+b=0 즉 b=−√(1+a)를 얻습니다. a는 아직 미지수인 채로 둡니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
b를 대입하면 극한식은 (√(x²+a) − √(1+a)) / (x+1) 꼴입니다. 분자·분모에 √(x²+a) + √(1+a)를 곱해 유리화하면 분자는 x²−1 = (x+1)(x−1)이 되어 x+1이 약분됩니다.
남은 식에 x=−1을 넣으면 −2 / (2√(1+a)) = −1/√(1+a). 이 값이 −1이라는 방정식을 푸세요. 그리고 √(1+a)는 양수라는 점을 잊지 마세요.

다 풀고 나서

해설

정답·해설 펼치기

정답 ②  a+b = −1

쎈 미적분1 0189번 해설

더 빠른 길 — 미분계수의 정의로 보기

g(x)=√(x²+a)로 두면 유리화한 뒤의 식은 {g(x) − g(−1)} / {x − (−1)}, 곧 g′(−1)입니다.
g′(x) = x / √(x²+a)이므로 g′(−1) = −1/√(1+a). 유리화 과정을 통째로 건너뛰고 한 줄에 −1/√(1+a)=−1을 세울 수 있습니다. 여기서 √(1+a)=1, a=0, b=−1.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 분자 → 0 조건을 쓰지 않고 바로 x=−1을 대입한다
    분모가 0이라 대입은 애초에 불가능합니다. “분모→0 + 극한 존재 ⟹ 분자→0″은 조건을 만들어 내는 도구입니다. 이 문제에서 b를 얻을 수 있는 통로는 이것 하나뿐입니다.
  • b=−√(1+a)의 부호를 놓친다
    √(1+a)+b=0에서 넘기면 b는 음수 쪽입니다. b=√(1+a)로 적으면 이후 유리화에서 두 항이 더해져 약분이 일어나지 않고, 문제가 풀리지 않는 모양이 됩니다.
  • 유리화한 뒤 약분하기 전에 x=−1을 넣는다
    (x+1)(x−1) / {(x+1)(√(x²+a)+√(1+a))} 상태에서 대입하면 다시 0/0입니다. x+1을 반드시 먼저 지우고 나서 대입하세요.
  • −1/√(1+a) = −1을 풀며 제곱근의 부호를 무시한다
    √(1+a)=1만 가능합니다. √(1+a)=−1은 나올 수 없으므로 후보로 세우지 마세요. 1+a=1에서 a=0.
  • a=0일 때 √(x²)=x라고 검산한다
    √(x²)=|x|이고 x는 −1 근처이므로 −x입니다. 검산해 보면 (−x−1)/(x+1) = −1로 조건과 정확히 맞습니다. 절댓값을 놓치면 멀쩡한 답을 틀렸다고 판단하게 됩니다.
  • a와 b를 구하고 멈춘다
    문제가 물은 것은 a+b입니다. a=0, b=−1을 따로 적고 더해서 −1까지 쓰세요.

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