쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
0190
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구간별 정의 함수의 연속
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출제의도
두 조각이 만나는 x=2 한 점에서, b를 먼저 얻고 a를 나중에 얻는다
x≤2 쪽은 다항식이라 어디서나 연속, x>2 쪽도 분모가 0이 아니라 연속입니다. 검사할 곳은 이어붙인 자리 x=2 하나뿐. 그런데 오른쪽 조각의 분모 √(x+2)−2가 x→2에서 0이 되므로, 미지수 두 개를 한꺼번에 구하려 들면 막힙니다. 분자→0 조건으로 b를 먼저 확정하고, 그 다음에 유리화로 a를 구하는 순서가 이 문제의 핵심이고, 서술형 채점도 그 순서를 따라갑니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 연속 조건을 식 한 줄로
구간별로 정의된 함수는 경계에서만 따집니다. x=2에서 연속이려면
limx→2+ f(x) = limx→2− f(x) = f(2).
왼쪽 조각은 다항식이므로 좌극한도 함숫값도 그냥 대입해서 −8+a. 계산할 것은 우극한 하나뿐입니다.
limx→2+ f(x) = limx→2− f(x) = f(2).
왼쪽 조각은 다항식이므로 좌극한도 함숫값도 그냥 대입해서 −8+a. 계산할 것은 우극한 하나뿐입니다.
힌트 2 — b가 먼저다
우극한은 (x+b) / (√(x+2)−2)이고, x→2+에서 분모는 √4−2 = 0으로 갑니다.
그런데 이 극한은 −8+a라는 유한한 값이어야 합니다. 그러므로 분자 → 0, 즉 2+b=0에서 b=−2. a가 무엇이든 상관없이 b가 먼저 정해집니다.
그런데 이 극한은 −8+a라는 유한한 값이어야 합니다. 그러므로 분자 → 0, 즉 2+b=0에서 b=−2. a가 무엇이든 상관없이 b가 먼저 정해집니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
이제 limx→2+ (x−2) / (√(x+2)−2)를 계산합니다. 분모의 무리식을 없애야 하니 분자·분모에 √(x+2)+2를 곱하세요.
분모는 (x+2)−4 = x−2가 되어 분자의 x−2와 약분되고, 남는 것은 √(x+2)+2 → 4.
따라서 −8+a=4. a를 구한 뒤 문제가 물은 것이 a−b임을 다시 확인하세요.
분모는 (x+2)−4 = x−2가 되어 분자의 x−2와 약분되고, 남는 것은 √(x+2)+2 → 4.
따라서 −8+a=4. a를 구한 뒤 문제가 물은 것이 a−b임을 다시 확인하세요.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 14 (a=12, b=−2)
서술형 채점 기준
- ❶ b의 값을 구할 수 있다40 %
- ❷ a의 값을 구할 수 있다50 %
- ❸ a−b의 값을 구할 수 있다10 %
더 빠른 길 — 분모를 미리 바꿔 쓰기
√(x+2)−2 = (x−2) / (√(x+2)+2)라는 항등식을 먼저 적어 두면, 나눗셈이 곱셈으로 바뀌면서 유리화 과정이 사라집니다.
(x−2) ÷ {(x−2)/(√(x+2)+2)} = √(x+2)+2 → 4. 분모에 무리식이 보일 때마다 쓸 수 있는 형태이므로 통째로 외워 두면 좋습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
a와 b를 동시에 구하려 한다
미지수가 둘이라 연립방정식을 찾으려 하지만, 조건은 하나뿐입니다. 분자→0으로 b를 먼저 확정하고 그 값을 넣은 뒤 a를 구하는 2단 구조입니다. 채점 기준 ❶❷도 이 순서 그대로입니다. -
분자→0을 쓰는 근거 문장을 빠뜨린다
서술형에서는 “분모→0이고 극한값이 존재하므로 분자→0이다”라는 한 줄이 곧 40 %입니다. 결과만 b=−2라고 써 놓으면 감점 대상입니다. -
유리화할 때 분자에만 곱한다
√(x+2)+2는 분자와 분모에 모두 곱해야 값이 보존됩니다. 한쪽에만 곱하면 답이 4가 아니라 다른 값으로 나옵니다. -
f(2)를 −4x+a에 넣으며 부호를 흘린다
−4×2+a = −8+a입니다. 8+a로 적으면 a=−4가 나와 이후 전부 어긋납니다. 좌극한과 함숫값이 같은 식이라는 점도 한 줄로 밝혀 두세요. -
a−b에서 음수 빼기를 그냥 뺄셈으로 처리한다
b=−2이므로 a−b = 12−(−2) = 14입니다. 10으로 적는 오답이 가장 많습니다. b의 부호를 괄호로 감싸서 대입하세요. -
x>2 쪽이라 우극한만 필요하다는 점을 잊는다
√(x+2)−2는 x>2에서만 정의되는 조각입니다. 양쪽 극한을 모두 이 식으로 계산하려 하면 정의역을 벗어납니다.
“쎈미적분1 0190”에 대한 1개의 생각