쎈미적분1 0184 - 답지나라

쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속

0184
난이도 중
두 함수의 곱의 연속
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문제를 읽자마자

f는 x=1에서 이미 끊겨 있다 — 그 뛴 폭에 0을 곱해 지우는 문제

f(x)는 x=1에서 좌 4, 우 1로 3만큼 끊깁니다. g(x)=x+k는 어디서나 연속이지만, 끊긴 함수와 곱한 결과가 연속이 되려면 방법은 하나뿐입니다. 끊긴 그 지점에서 곱해지는 쪽이 0이 되는 것. 결국 g(1)=0을 만드는 k를 찾는 문제입니다.

막혔을 때

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 값 세 개부터 적기

x=1에서 연속이라는 말은 (우극한)=(좌극한)=(함숫값)이라는 뜻입니다. 곱한 함수 f(x)g(x)에 대해 이 세 개를 k로 표현해 보세요.
등호가 x≤1에 붙어 있으니 f(1)=1+3=4, g(1)=1+k입니다.

힌트 2 — 좌우를 나란히 놓기

우극한은 (−1+2)(1+k)=1+k, 좌극한은 (1+3)(1+k)=4+4k, 함숫값도 4+4k입니다.
두 값 모두 (1+k)라는 공통 인수를 가지고 있다는 점을 보세요. 차이를 계산하면 무엇이 남나요?

힌트 3 — 마지막 한 걸음

(4+4k)−(1+k)=3(1+k). 이것이 0이어야 하는데 3은 f가 뛴 폭이라 절대 0이 될 수 없습니다. 따라서 1+k=0.
k를 구했으면 g(1)=0이 되어 x=1에서 좌·우극한과 함숫값이 모두 0으로 만나는지 확인하세요.

다 풀고 나서

정답·해설 펼치기

정답 k = −1

쎈 미적분1 0184번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — 뛴 폭 × g(1) = 0

x=1에서 f의 우극한 1, 좌극한 4. 곱한 함수의 좌우 극한 차이는 (4−1)×g(1)=3g(1)입니다.
이 값이 0이어야 하고 3≠0이므로 g(1)=0, 즉 1+k=0 ⟹ k=−1. “끊긴 폭 × 곱해지는 값 = 0″이라는 한 줄로 끝납니다.

덮기 직전에

f가 불연속이니 f·g도 불연속이라 단정한다
불연속 × 연속이 연속이 될 수 있습니다. 끊긴 지점에서 곱해지는 쪽이 0이면 됩니다. 이 문제의 전부가 그 사실입니다.
f(1)을 −x+2에 대입한다
등호가 붙은 쪽은 x≤1, 즉 x+3입니다. f(1)=4. 조각함수는 부등호에 등호가 어디 붙었는지부터 확인하세요.
(1+k)를 양변에서 약분한다
1+k=4+4k에서 (1+k)로 나누는 순간 이 문제의 정답인 1+k=0을 지워버립니다. 0이 될 수 있는 식으로는 나누지 않습니다.
극한만 맞추고 함숫값을 빠뜨린다
연속의 정의는 세 값이 모두 같은 것입니다. 여기서는 좌극한과 함숫값이 같아 결과가 같지만, 서술형에서 f(1)g(1)을 적지 않으면 감점 대상입니다.
구한 k를 되돌려 넣지 않는다
k=−1 ⟹ g(x)=x−1 ⟹ g(1)=0. 좌극한 4×0=0, 우극한 1×0=0, 함숫값 0. 이 검산 한 줄이면 부호 실수가 바로 드러납니다.

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