쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
0183
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절댓값 함수의 연속
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문제를 읽자마자
출제의도
f(x)가 아니라 |f(x)|가 연속 — 값을 맞추는 게 아니라 부호를 맞추는 문제
f(x)는 x=a에서 좌우 값이 a−3과 a+2로 항상 5만큼 벌어져 있습니다. 어떤 a를 넣어도 f(x) 자체는 연속이 될 수 없습니다. 그런데 물어본 것은 |f(x)|. 절댓값을 씌우면 크기가 같고 부호가 반대인 두 값은 하나로 포개집니다. 이 문제는 |a−3|=|a+2| 한 줄이 전부입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 검사할 곳은 한 곳뿐
x≠a인 구간에서는 일차함수이고, 연속함수에 절댓값을 씌워도 연속입니다. 따라서 따질 지점은 x=a 하나뿐입니다.
그 점에서 필요한 조건 세 개(좌극한·우극한·함숫값)를 절댓값을 씌운 채로 적어 보세요.
그 점에서 필요한 조건 세 개(좌극한·우극한·함숫값)를 절댓값을 씌운 채로 적어 보세요.
힌트 2 — 값 세 개 적기
등호가 x≥a에 붙어 있으므로 f(a)=a+2, 즉 |f(a)|=|a+2|입니다. 우극한도 |a+2|.
남은 것은 좌극한 |a−3| 하나. 이미 두 개가 같으니 세울 등식은 |a−3|=|a+2| 단 하나입니다.
남은 것은 좌극한 |a−3| 하나. 이미 두 개가 같으니 세울 등식은 |a−3|=|a+2| 단 하나입니다.
힌트 3 — 절댓값 방정식 풀기
a+2=±(a−3) 두 경우로 나눕니다. a+2=a−3은 모순이므로 버리고, 남은 a+2=−(a−3)만 풀면 됩니다.
부호 나눔이 불안하면 양변을 제곱하세요. |A|=|B|와 A2=B2는 언제나 같은 뜻입니다.
부호 나눔이 불안하면 양변을 제곱하세요. |A|=|B|와 A2=B2는 언제나 같은 뜻입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ a = 1/2
풀이영상
더 안전한 길 — 제곱해서 케이스 없애기
|a−3|=|a+2| ⟹ (a−3)2=(a+2)2 ⟹ a2−6a+9 = a2+4a+4 ⟹ 10a=5 ⟹ a=1/2.
경우를 나누지 않으니 “한쪽만 풀고 답이 없다고 결론짓는” 사고가 원천 차단됩니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(x)가 연속이어야 한다고 풀어버린다
a−3=a+2는 해가 없으니 “그런 a는 없다”로 끝납니다. 조건은 f(x)가 아니라 |f(x)|입니다. 절댓값이 씌워진 채로 식을 세우세요. -
f(a)를 x−3에 대입한다
등호가 붙은 쪽은 x≥a, 즉 x+2입니다. f(a)=a+2. 조각함수는 등호 위치부터 확인하는 습관이 필요합니다. -
절댓값 방정식에서 한 경우만 푼다
a+2=a−3만 보고 모순이라며 멈추면 답을 놓칩니다. ±를 반드시 둘 다 확인하거나, 아예 제곱해서 처리하세요. -
|f|가 연속이면 f도 연속이라고 생각한다
역은 성립하지 않습니다. 이 문제가 바로 반례입니다. a=1/2일 때 f는 −5/2와 5/2로 끊겨 있지만 |f|는 5/2로 이어집니다. -
구한 값을 되돌려 넣지 않는다
a=1/2 ⟹ 좌 −5/2, 우 5/2 ⟹ 절댓값 둘 다 5/2. 이 검산 한 줄이면 부호 실수가 그 자리에서 잡힙니다.
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