쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속 · 유형 04 함수가 연속일 조건 (1)
0182
대표문제
함수가 연속일 조건
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출제의도
미지수 3개는 공짜 조건 하나 + 이어붙이는 점 두 개로 잡는다
구간이 세 개면 경계점은 x=2와 x=−2 두 곳뿐이고, 여기서 나오는 식도 두 개뿐입니다. 미지수는 셋인데 식이 둘이니 나머지 하나는 다른 데서 와야 하고, 그게 f(0)=−2입니다. 순서를 f(0) → x=2 → x=−2로 잡으면 매번 미지수 하나씩만 다루게 되어 계산이 꼬이지 않습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 어디부터 손대야 하나
세 조건을 아무 데서나 쓰지 말고, 미지수가 하나만 들어 있는 식부터 찾으세요.
x=0은 −2<0<2이므로 가운데 줄 x²−b가 적용됩니다. f(0)=−b이고, 이 값이 −2입니다. b가 바로 나옵니다.
x=0은 −2<0<2이므로 가운데 줄 x²−b가 적용됩니다. f(0)=−b이고, 이 값이 −2입니다. b가 바로 나옵니다.
힌트 2 — x=2에서 이어붙이기
연속이려면 lim(x→2+) f(x) = lim(x→2−) f(x) = f(2)여야 합니다.
오른쪽에서는 2x+a → 4+a, 왼쪽에서는 x²−b → 4−b. b를 이미 알고 있으니 a가 결정됩니다.
오른쪽에서는 2x+a → 4+a, 왼쪽에서는 x²−b → 4−b. b를 이미 알고 있으니 a가 결정됩니다.
힌트 3 — x=−2는 등호가 어느 쪽인가
x≤−2에 등호가 붙어 있으므로 f(−2)=3·(−2)−c입니다. 오른쪽 극한은 x²−b에서 4−b.
−6−c = 4−b로 놓고 c를 구하세요. 다 구한 뒤 문제가 물은 것이 a+b+c가 아니라 abc임을 다시 확인하고, 부호를 하나씩 짚으며 곱하세요.
−6−c = 4−b로 놓고 c를 구하세요. 다 구한 뒤 문제가 물은 것이 a+b+c가 아니라 abc임을 다시 확인하고, 부호를 하나씩 짚으며 곱하세요.
다 풀고 나서
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정답 32 (a=−2, b=2, c=−8)
검산법 — 그래프로 30초 만에 확인
가운데 조각은 y=x²−2로, 꼭짓점 (0, −2)를 지나고 x=±2에서 값이 2인 포물선입니다. 즉 이어붙일 점은 (2, 2)와 (−2, 2) 두 개로 이미 정해져 있습니다. 직선 y=2x+a가 (2, 2)를 지나므로 a=−2, 직선 y=3x−c가 (−2, 2)를 지나므로 −6−c=2에서 c=−8. 답을 구한 뒤 이 두 점만 대입해 보면 부호 실수를 곧바로 잡아낼 수 있습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(0)을 엉뚱한 줄에 대입한다
x=0이 −2<x<2 안에 있는지 먼저 확인하세요. 2x+a나 3x−c에 대입하면 그 뒤 계산이 전부 무너집니다. -
x=−2에서 등호가 붙은 쪽을 확인하지 않는다
이 문제는 x≤−2에 등호가 있으므로 f(−2)=3x−c 쪽입니다. 함숫값을 x²−b로 잡으면 식이 달라집니다. -
경계점 두 곳 중 한 곳만 처리하고 끝낸다
“실수 전체에서 연속”은 x=2와 x=−2 둘 다를 요구합니다. 미지수가 3개라는 사실 자체가 조건 3개가 필요하다는 신호입니다. -
−6−c=2에서 c의 부호를 뒤집는다
c=−8입니다. c=8로 잘못 옮기면 abc가 −32로 나옵니다. 답이 −32라면 이 줄을 다시 보세요. -
a, b, c만 구하고 곱셈을 대충 한다
abc=(−2)·2·(−8)입니다. 음수 두 개이므로 결과는 양수 32. 세 값을 따로 적어 놓고 부호를 하나씩 확인하며 곱하세요.
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