쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
0177
난이도 상
함수의 그래프와 연속
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문제를 읽자마자
출제의도
그래프를 구간별 식으로 바꿔 쓰면 ㄱ·ㄴ·ㄷ이 한꺼번에 풀리는 문제
f(−x)가 등장하는 순간 대부분의 학생이 그래프를 y축 대칭으로 뒤집어 그리려고 합니다. 출제자가 보려는 건 그게 아니라, 극한 변수의 접근 방향이 함께 뒤집힌다는 사실(x→1+이면 −x→−1−)을 아는지입니다. 그리고 ㄷ까지 오면 f(x)+f(−x)가 상수 0이라는 게 드러나면서, ㄱ·ㄴ은 사실 그 특수한 경우였다는 구조가 보입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 그래프를 식으로
그래프를 눈으로만 읽으면 채운 점·빈 점에서 반드시 실수합니다. 먼저 세 구간으로 나눠 적으세요.
x≤−1에서 1, −1<x<1에서 x, x≥1에서 −1. 특히 x=−1과 x=1에서 채워진 점이 어느 쪽인지 다시 확인하세요.
x≤−1에서 1, −1<x<1에서 x, x≥1에서 −1. 특히 x=−1과 x=1에서 채워진 점이 어느 쪽인지 다시 확인하세요.
힌트 2 — f(−x)의 극한, 방향이 뒤집힌다
ㄱ에서 limx→1+ f(−x)를 구할 때 −x=t로 치환하세요. x→1+이면 t→−1−입니다. 부호 방향이 반대로 뒤집힌다는 게 이 문제의 전부입니다.
t→−1−이면 f(t)는 어느 구간의 식을 쓸까요? x≤−1 구간, 즉 f(t)=1입니다.
t→−1−이면 f(t)는 어느 구간의 식을 쓸까요? x≤−1 구간, 즉 f(t)=1입니다.
힌트 3 — ㄷ은 극한을 쓰지 마세요
ㄷ은 실수 전체에서의 연속이므로 점 하나씩 따지면 끝이 없습니다. 대신 f(−x)의 식을 구간별로 직접 써서 f(x)+f(−x)를 계산해 보세요.
세 구간 모두에서 합이 같은 값으로 나옵니다. 상수함수라면 연속 여부는 따질 것도 없습니다. 그리고 이 결과를 알면 ㄴ도 즉시 참이 됩니다.
세 구간 모두에서 합이 같은 값으로 나옵니다. 상수함수라면 연속 여부는 따질 것도 없습니다. 그리고 이 결과를 알면 ㄴ도 즉시 참이 됩니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
풀이영상
더 빠른 길 — ㄷ부터 풀기
구간별 식으로 f(x)+f(−x)=0임을 먼저 보이면 ㄷ이 참이고, 동시에 이 함수는 모든 실수에서 값이 0인 상수함수가 됩니다.
그러면 ㄱ의 극한값도 0, ㄴ의 x=1에서의 연속도 자동으로 성립합니다. ㄱ→ㄴ→ㄷ 순서로 따라가는 것보다 ㄷ 한 번에 세 개를 끝내는 쪽이 훨씬 짧습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(−x)의 그래프를 새로 그리려 든다
y축 대칭 그래프를 그리다 보면 시간도 잃고 점의 개폐도 틀립니다. −x=t 치환 한 줄이면 됩니다. -
x→1+일 때 −x→−1+라고 쓴다
부호를 곱하면 접근 방향도 반대가 됩니다. x가 1보다 크면 −x는 −1보다 작으므로 t→−1−입니다. 이 문제에서 가장 많이 틀리는 지점입니다. -
채운 점과 빈 점을 반대로 읽는다
이 그래프에서 f(−1)=1, f(1)=−1입니다. 대각선 쪽 끝점이 빈 점이라는 걸 놓치면 ㄴ의 함숫값 계산이 통째로 어긋납니다. -
ㄴ에서 좌우극한만 확인하고 끝낸다
연속의 정의는 좌극한=우극한=함숫값입니다. f(1)+f(−1)=0까지 적어야 연속이라고 말할 수 있습니다. 서술형에서는 이 한 줄이 배점입니다. -
ㄷ을 x=1 근처만 보고 판단한다
ㄷ은 실수 전체를 묻습니다. x=−1도 검사 대상입니다. 구간별 식으로 합을 계산하면 세 구간 모두 0이라 한 번에 해결됩니다.
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