쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속
0176
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평행이동한 함수의 연속
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문제를 읽자마자
출제의도
그래프를 옆으로 밀어 놓고 같은 자리를 다시 읽으라는 문제
f(x−1)과 f(x+1)은 주어진 그래프를 좌우로 민 것일 뿐, 새로운 함수가 아닙니다. x−1=t, x+1=t로 치환하면 결국 원래 그래프의 x=0 근처와 x=1 근처만 읽으면 되는 문제로 바뀝니다. 관건은 치환할 때 극한 변수의 방향(+, −)까지 같이 옮기는 것, 그리고 ㄷ에서 극한값과 함숫값을 끝까지 비교하는 것입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 두 자리의 값을 먼저 적기
x=0에서 좌극한·우극한·함숫값 세 개를 그래프에서 읽어 적으세요. 그리고 x=1 근처도 같이 봅니다. x>0에서 그래프는 y=x−1이므로 x=1 근처는 끊김 없이 이어져 있습니다.
이 두 자리의 정보만으로 ㄱ, ㄴ, ㄷ이 모두 결정됩니다. ㄱ은 여기서 바로 판정됩니다.
이 두 자리의 정보만으로 ㄱ, ㄴ, ㄷ이 모두 결정됩니다. ㄱ은 여기서 바로 판정됩니다.
힌트 2 — ㄴ, 치환하면 어디로 가는가
x−1=t로 놓으면 x→1+일 때 t→0+, x→1−일 때 t→0−입니다. 즉 f(x−1)의 x=1 문제는 f의 x=0 문제로 그대로 옮겨집니다.
x=0에서 f의 좌우극한이 같았나요? 그 답이 곧 ㄴ의 답입니다.
x=0에서 f의 좌우극한이 같았나요? 그 답이 곧 ㄴ의 답입니다.
힌트 3 — ㄷ, 곱은 한쪽씩 그리고 끝까지
x+1=t로 놓으면 x→0+일 때 t→1+, x→0−일 때 t→1−입니다. f는 x=1 근처에서 연속이라 양쪽 모두 0으로 갑니다. 여기에 f(x)의 좌우극한 −1과 1을 각각 곱해 보세요.
극한값이 나왔다면 마지막으로 f(0)f(0+1)을 계산해서 비교해야 판정이 끝납니다.
극한값이 나왔다면 마지막으로 f(0)f(0+1)을 계산해서 비교해야 판정이 끝납니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ③ ㄷ
풀이영상
치환 없이 보는 법 — 그래프를 실제로 밀어 보기
f(x−1)은 주어진 그래프를 오른쪽으로 1만큼 민 것이므로, 원래 x=0에 있던 끊긴 자리가 x=1로 옮겨 갑니다. 끊김이 그대로 따라오니 ㄴ은 거짓입니다.
ㄷ은 x=0에서 f(x)가 −1과 1로 갈라지지만, f(x+1)이 그 자리에서 0으로 수렴해 갈라짐을 눌러 버리는 구조입니다. 0을 곱하면 좌우 차이가 사라진다는 0175번과 같은 아이디어입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
ㄱ에서 f(0)=0이니 극한도 0이라고 답한다
x=0에서 좌극한은 1, 우극한은 −1로 갈라져 극한값 자체가 없습니다. 원점의 •는 함숫값일 뿐, 극한값의 근거가 아닙니다. -
평행이동 방향을 반대로 잡는다
f(x−1)은 그래프를 오른쪽으로 1만큼 민 것입니다. 헷갈리면 x=1을 넣어 x−1=0인지 확인하세요. 대입 한 번이 방향 착각을 막아 줍니다. -
치환하면서 화살표 부호를 안 옮긴다
x→1+이면 t→0+, x→1−이면 t→0−입니다. 이 부호가 뒤집히면 좌극한과 우극한이 통째로 맞바뀌어 결론이 반대로 나옵니다. -
ㄷ에서 f(1)을 1로 읽는다
x>0에서 f(x)=x−1이므로 f(1)=0입니다. 그래프에서 (1, 0)을 지나는 것을 확인하세요. 이 값이 1이 되면 마지막 비교가 어긋납니다. -
극한값 0을 구하고 연속이라고 마무리한다
연속의 판정은 lim = 함숫값까지입니다. f(0)f(1)=0·0=0이 극한값과 같다는 마지막 한 줄이 있어야 ㄷ이 참으로 확정됩니다.
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