쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속 · 유형 03
0178
대표 문제
함수의 그래프와 연속; 합성함수
풀이영상 있음
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함수의 그래프와 연속; 합성함수
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출제의도
합성함수의 극한은 t가 어느 쪽에서 다가가는지까지 읽어야 한다는 문제
f(f(x))에서 안쪽 f(x)를 t로 놓는 것까지는 누구나 합니다. 갈리는 지점은 그다음입니다. x→−1일 때 f(x)의 값이 −1에 위에서 다가가므로 t→−1+이고, 그래서 lim f(t)는 −1이 됩니다. 여기에 f(f(−1))=f(0)=1이라는 함숫값을 붙이면 불연속 판정까지 한 줄로 끝납니다. 유형 03의 전형을 그대로 담은 대표 문제입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — ㄱ은 합성이 아닙니다
ㄱ은 f(f(x))가 아니라 그냥 f(x)의 극한입니다. x=1에서 좌우극한만 그래프에서 읽으세요.
오른쪽 끝의 빈 점과 채운 점이 각각 어느 높이에 있는지가 전부입니다. 두 값이 다르면 극한은 존재하지 않습니다.
오른쪽 끝의 빈 점과 채운 점이 각각 어느 높이에 있는지가 전부입니다. 두 값이 다르면 극한은 존재하지 않습니다.
힌트 2 — 안쪽을 t로 놓되, 방향을 보세요
ㄴ에서 f(x)=t로 치환합니다. x가 −1로 갈 때 f(x)는 −1에 가까워지는데, 문제는 −1보다 큰 쪽인가 작은 쪽인가입니다.
그래프에서 x=−1 부근은 아래로 꺾인 골짜기이고 바닥이 −1이므로, 근처의 f(x) 값은 모두 −1보다 큽니다. 즉 t→−1+입니다.
그래프에서 x=−1 부근은 아래로 꺾인 골짜기이고 바닥이 −1이므로, 근처의 f(x) 값은 모두 −1보다 큽니다. 즉 t→−1+입니다.
힌트 3 — ㄷ은 극한과 함숫값의 대결
불연속을 보이려면 limx→−1 f(f(x))와 f(f(−1))이 다르다는 것만 보이면 됩니다.
f(−1)의 값을 그래프에서 다시 읽으세요. 골짜기의 바닥은 빈 점이고, 채워진 점은 x축 위에 있습니다. 그러면 f(f(−1))=f(0)이 되고, f(0)의 값이 무엇인지 그래프의 꼭짓점에서 확인하세요.
f(−1)의 값을 그래프에서 다시 읽으세요. 골짜기의 바닥은 빈 점이고, 채워진 점은 x축 위에 있습니다. 그러면 f(f(−1))=f(0)이 되고, f(0)의 값이 무엇인지 그래프의 꼭짓점에서 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
풀이영상
정리해 둘 것 — 합성함수 극한의 3가지 경우
f(x)=t로 놓았을 때 ① x→a+에서 t→b+이면 lim은 t→b+의 극한, ② t→b−이면 t→b−의 극한, ③ t가 b에 고정되면 함숫값 g(b)를 씁니다.
①②와 ③을 구분하지 못하면 이 유형은 계속 틀립니다. 이번 문제는 ①에 해당합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
t→−1이라고만 쓰고 방향을 붙이지 않는다
이 유형에서 부호 하나가 답을 바꿉니다. t→−1+와 t→−1−는 f(t)의 극한값이 서로 다릅니다. 치환하는 순간 방향부터 적으세요. -
f(−1)을 −1로 읽는다
x=−1에서 골짜기 바닥은 빈 점이고 채워진 점은 x축 위, 즉 f(−1)=0입니다. 이걸 −1로 읽으면 ㄷ의 함숫값이 통째로 틀립니다. -
f(f(−1))을 f(−1)로 계산한다
합성이므로 두 번 대입합니다. f(−1)=0을 구한 뒤 다시 f(0)=1을 읽어야 f(f(−1))=1이 나옵니다. -
ㄴ이 참이니 ㄷ도 연속일 거라고 넘겨짚는다
극한이 존재하는 것과 연속인 것은 다릅니다. 극한값 −1과 함숫값 1이 다르므로 오히려 불연속입니다. ㄴ이 참이라는 사실이 ㄷ의 근거가 됩니다. -
ㄱ에서 좌우극한을 반대로 읽는다
x=1의 오른쪽 위에 빈 점(높이 1), 오른쪽 아래에 채운 점(높이 −1)이 있습니다. 좌극한 −1, 우극한 1로 서로 달라 극한이 존재하지 않습니다.
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