쎈미적분1 0179

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속 · 유형 03

0179
난이도 중
합성함수가 연속이 될 조건
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쎈 미적분1 0179번 문제

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출제의도

검사할 점은 단 하나, x=0뿐이라는 걸 알아채라는 문제

보기 그래프가 셋이라 부담스러워 보이지만, f가 불연속인 점은 x=0 하나입니다. 나머지 구간에서는 f도 g도 연속이라 합성함수도 자동으로 연속입니다. 그러니 세 개의 g에 대해 x=0에서의 좌극한·우극한·함숫값 딱 세 값만 비교하면 끝납니다. 이때 t의 접근 방향이 t→1−와 t→−1+라는 점이 판정의 전부입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 검사 범위를 줄이세요
보기의 g는 셋 다 연속함수입니다. 그렇다면 g(f(x))가 불연속이 될 수 있는 곳은 f가 불연속인 점뿐입니다.
구간 [−2, 2]에서 f의 그래프가 끊어진 곳은 어디인가요? x=0 하나입니다. 여기만 보면 됩니다.
힌트 2 — 세 값을 t의 언어로 바꾸기
f(x)=t로 놓습니다. 그래프에서 x→0+일 때 f(x)는 1보다 작은 쪽에서 1로 올라가므로 t→1−, x→0−일 때는 −1보다 큰 쪽에서 −1로 내려가므로 t→−1+입니다.
그리고 원점의 채운 점에서 f(0)=0이므로 함숫값은 g(f(0))=g(0)입니다.
힌트 3 — 비교할 것은 이 세 개
각 보기의 g에 대해 limt→1− g(t), limt→−1+ g(t), g(0) 세 값을 그래프에서 읽어 나란히 적으세요.
셋이 모두 같으면 연속, 하나라도 다르면 불연속입니다. 여기서 t는 1의 왼쪽에서만, −1의 오른쪽에서만 다가온다는 점을 잊지 마세요. 즉 g의 그래프에서 −1 < x < 1 구간의 모습이 결정적입니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

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정답 ③  ㄱ, ㄴ

쎈 미적분1 0179번 해설

풀이영상

한눈에 보는 판별법

ㄱ과 ㄴ은 −1과 1 사이에서 g의 값이 0으로 눌려 있어 두 극한이 모두 0이고 g(0)=0이므로 통과합니다.
ㄷ은 −1 부근에서 1, 1 부근에서 −1이라 두 극한이 어긋나 x=0에서 극한 자체가 존재하지 않습니다. ㄱ·ㄴ이 x>1이나 x<−1에서 서로 다르게 생긴 것은 답에 아무 영향이 없습니다. t가 그쪽으로는 가지 않기 때문입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 보기 세 개를 [−2, 2] 전 구간에서 검사한다
    시간을 다 씁니다. g가 연속이므로 x=0 한 점만 보면 됩니다. 검사할 점을 먼저 확정하고 시작하세요.
  • t→1, t→−1로 방향 없이 본다
    방향을 빼면 ㄷ까지 통과시키게 됩니다. t는 1의 왼쪽, −1의 오른쪽에서만 접근합니다. 이 문제의 정답과 오답을 가르는 유일한 지점입니다.
  • f(0)을 1이나 −1로 읽는다
    원점에 채워진 점이 있어 f(0)=0입니다. 양옆의 빈 점을 함숫값으로 착각하면 g(f(0))이 통째로 달라집니다.
  • ㄱ과 ㄴ의 바깥쪽 모양 차이에 마음을 빼앗긴다
    x>1, x<−1 부분은 t가 도달하지 않는 영역이라 판정에 쓰이지 않습니다. 그래서 두 보기가 함께 정답이 됩니다.
  • g가 연속이면 합성도 항상 연속이라고 결론짓는다
    g가 연속이어도 g(−1)≠g(1)이면 x=0에서 좌우극한이 갈려 불연속이 됩니다. 이번 문제는 g(−1)=g(1)=0이라 성립한 것뿐입니다.


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