쎈미적분1 0168

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쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속 · 유형 01

0168
대표 문제
함수의 연속
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쎈 미적분1 0168번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

그래프를 그리지 말고, 연속의 세 조건을 한 점에서 기계적으로 대조하라는 문제

연속은 ① 함숫값 f(a)가 정의되고 ② 극한값 limx→a f(x)가 존재하고 ③ 두 값이 같다, 이 세 줄이 전부입니다. 보기 ㄱ·ㄴ·ㄷ은 각각 유리식(약분형), 무리식(정의역 경계), 절댓값(좌우 갈림)이라는 서로 다른 함정을 하나씩 담고 있습니다. 세 조건표를 세 번 돌리면 끝나는 문제입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 볼 지점부터 찍어라
세 함수 모두 식이 갈라지는 한 점만 의심하면 됩니다. ㄱ은 x=−2, ㄴ은 x=1, ㄷ은 x=1. 나머지 구간은 다항·유리·무리함수라 이미 연속입니다.
ㄱ에서 f(−2)=1은 문제가 이미 알려줬습니다. 그럼 남은 일은 극한값 하나 계산뿐입니다.
힌트 2 — 약분은 극한값만 만든다
ㄱ에서 (x²−4)/(x+2)를 약분하면 x−2이므로 극한값은 −4입니다. 그런데 정의된 함숫값은 1이죠. 두 값이 다르면 그 순간 불연속입니다.
ㄴ은 √ 안이 x−1이므로 x≥1에서만 뿌리 식을 씁니다. x=1에서 g(1)의 값과 좌·우극한을 각각 적어 보세요.
힌트 3 — 절댓값은 반드시 쪼개라
ㄷ의 분모 |x−1|은 x>1이면 (x−1), x<1이면 −(x−1)입니다. 분자 x²−x=x(x−1)과 약분하면 우극한은 1, 좌극한은 −1.
좌우가 다르면 극한값 자체가 없으므로, f(1)을 볼 것도 없이 불연속입니다. 이제 살아남은 보기가 몇 개인지 세어 선지를 고르세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ②  ㄴ

쎈 미적분1 0168번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — 연속성 기본 정리로 의심 지점만 찍기

다항함수는 실수 전체에서, 유리함수 f(x)/g(x)는 g(x)≠0인 곳에서, 무리함수 √f(x)는 f(x)≥0인 곳에서 연속입니다.
따라서 검사할 곳은 분모가 0이 되는 점, 근호 안이 0이 되는 점, 식이 바뀌는 경계뿐. ㄱ은 x=−2, ㄴ·ㄷ은 x=1 한 점씩만 보면 되고, 나머지 계산은 할 필요조차 없습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 약분이 되니까 연속이라고 넘어간다
    약분은 극한값을 만들어 줄 뿐입니다. ㄱ은 극한값 −4, 함숫값 1로 두 값이 다릅니다. 극한 존재와 연속은 다른 이야기입니다.
  • 절댓값을 그냥 (x−1)로 지운다
    ㄷ에서 좌우 부호가 갈립니다. |x−1|은 x<1에서 −(x−1)입니다. 절댓값이 보이면 무조건 좌극한·우극한을 따로 씁니다.
  • ㄴ에서 x<1 구간을 빼먹는다
    g(x)는 x<1에서 상수 −1로 정의돼 있습니다. 근호 밖 구간이 없다고 착각하면 정의역 밖이라며 잘못 배제하게 됩니다.
  • “모든 실수에서”를 한 점 검사로 끝낸다
    경계점이 연속이어도 나머지 구간의 연속성 근거를 한 줄로 밝혀야 완결입니다. 다항·유리·무리함수의 연속 조건을 근거로 적으세요.
  • 보기는 맞게 골라 놓고 선지를 잘못 찍는다
    살아남은 보기가 ㄴ 하나면 답은 ②입니다. ㄱ, ㄴ이 남았다고 착각해 ③을 고르는 실수가 가장 많습니다. 탈락시킨 보기에 ✕를 직접 표시하고 세세요.


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