쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속 · 유형 01
0169
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출제의도
다섯 개를 다 풀지 말고, 싼 조건부터 대입해 탈락시키라는 문제
연속의 세 조건은 검사 비용이 다릅니다. ①정의되는가는 눈으로 0초, ②좌우극한이 같은가는 두 줄, ③극한값=함숫값은 마지막 비교. 다섯 선지는 각각 “정의 안 됨 / 가우스 정수점 / 함숫값만 어긋남 / 절댓값 좌우 갈림 / 정답”으로 배치되어 있습니다. 순서대로 다 계산하면 시간을 잃습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 계산 전에 정의부터
①의 f(x)=2/(x+1)에 x=−1을 넣어 보세요. 분모가 0입니다. 함숫값이 없으면 극한을 볼 것도 없이 불연속입니다.
③과 ⑤는 x=−1에서의 값이 따로 지정돼 있으니, 이 둘은 마지막에 “극한값 vs 지정된 값” 비교로 판정합니다.
③과 ⑤는 x=−1에서의 값이 따로 지정돼 있으니, 이 둘은 마지막에 “극한값 vs 지정된 값” 비교로 판정합니다.
힌트 2 — 가우스는 정수에서 끊긴다
②의 [x]는 정수점마다 값이 튑니다. x가 −1보다 조금 클 때는 [x]=−1이라 [x]²=1, x가 −1보다 조금 작을 때는 [x]=−2라 [x]²=4.
좌우가 다르면 극한값이 아예 없습니다. 제곱했다고 부호 차이가 사라진다고 착각하지 마세요.
좌우가 다르면 극한값이 아예 없습니다. 제곱했다고 부호 차이가 사라진다고 착각하지 마세요.
힌트 3 — 남은 두 개를 비교로 끝내라
④는 3|x+1|/(x+1)이므로 우극한 3, 좌극한 −3 — 탈락.
③은 극한값 (x+1)²→0인데 지정된 값은 −1 — 탈락.
⑤는 (x²−1)/(x+1)=x−1이므로 극한값 −2이고, 지정된 값도 −2입니다. 세 조건이 모두 맞습니다.
③은 극한값 (x+1)²→0인데 지정된 값은 −1 — 탈락.
⑤는 (x²−1)/(x+1)=x−1이므로 극한값 −2이고, 지정된 값도 −2입니다. 세 조건이 모두 맞습니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
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정답 ⑤
풀이영상
더 빠른 길 — 3단 필터로 훑기
1단계 “x=−1에서 값이 있는가” → ① 탈락. 2단계 “좌우극한이 같은가” → 가우스인 ②, 절댓값인 ④ 탈락.
여기까지 30초면 ③과 ⑤만 남습니다. 마지막으로 약분한 극한값과 지정된 함숫값을 비교하면 ③은 0≠−1, ⑤는 −2=−2. 다섯 개를 순서대로 계산하는 것보다 절반 이하의 시간이 듭니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
①에서 극한값부터 계산한다
2/(x+1)은 x=−1에서 정의 자체가 되지 않습니다. 함숫값이 없으면 그 자리에서 불연속 확정 — 극한 계산은 낭비입니다. -
[x]²이니까 제곱해서 좌우가 같아진다고 본다
−1과 −2를 제곱하면 1과 4로 여전히 다릅니다. 가우스 함수는 정수점에서 좌우 값이 한 칸 차이 나고, 제곱은 그 차이를 없애지 못합니다. -
x=−1의 좌우에서 [x] 값을 반대로 잡는다
x=−1.1이면 [x]=−2, x=−0.9면 [x]=−1입니다. 수직선에 점을 찍고 실제 숫자를 대입해 확인하는 습관을 들이세요. -
④의 절댓값을 그냥 지운다
|x+1|은 x<−1에서 −(x+1)입니다. 좌극한 −3, 우극한 3으로 갈립니다. 절댓값 안이 0이 되는 점이 바로 검사할 점입니다. -
극한값만 맞으면 연속이라고 결론 낸다
③은 극한값 0으로 잘 존재하지만 지정된 f(−1)=−1과 다릅니다. 마지막 비교 한 줄을 빠뜨리면 ③을 답으로 고르게 됩니다.
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