쎈수학 미적분Ⅰ · 02 함수의 연속 · 유형 01
0170
난이도 중
서술형
경계에서의 연속
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문제를 읽자마자
출제의도
경계가 상수가 아니라 미지수 a인 조각함수 — 연속 조건을 a의 방정식으로 바꾸는 문제
x=a에서 식이 갈리므로 f(a), 우극한, 좌극한 세 개를 모두 a에 대한 식으로 써 놓고 등식을 세우면 2차방정식이 나옵니다. 근이 두 개 나오는 것이 이 문제의 핵심이고, “모든 실수 a의 값의 합”이라는 표현이 그 신호입니다. 서술형이므로 세 값을 a로 나타내는 첫 단계부터 배점이 걸려 있습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — f(a)는 어느 식인가
조건이 x≥a와 x<a로 나뉘어 있습니다. 등호가 붙은 쪽이 x=a에서의 함숫값을 결정하므로 f(a)=a입니다.
여기서 위아래를 바꿔 잡으면 이후 계산이 전부 어긋납니다. 등호 위치에 동그라미부터 치세요.
여기서 위아래를 바꿔 잡으면 이후 계산이 전부 어긋납니다. 등호 위치에 동그라미부터 치세요.
힌트 2 — 좌극한과 우극한을 a로 쓰기
x→a+ 이면 x≥a 쪽 식이므로 극한은 a. x→a− 이면 x<a 쪽 식이므로 극한은 a²−2.
연속이려면 극한값이 존재해야 하고, 그 값이 f(a)와 같아야 합니다. 이제 등식을 하나 세울 수 있습니다.
연속이려면 극한값이 존재해야 하고, 그 값이 f(a)와 같아야 합니다. 이제 등식을 하나 세울 수 있습니다.
힌트 3 — 근이 하나가 아니다
a=a²−2 를 정리하면 a²−a−2=0, 즉 (a+1)(a−2)=0입니다.
문제가 “모든 실수 a의 값의 합“을 물은 것은 근이 둘이기 때문입니다. 한쪽만 답하고 멈추지 마세요. 두 값을 각각 적은 뒤 더하는 줄까지 써야 마지막 배점이 들어옵니다.
문제가 “모든 실수 a의 값의 합“을 물은 것은 근이 둘이기 때문입니다. 한쪽만 답하고 멈추지 마세요. 두 값을 각각 적은 뒤 더하는 줄까지 써야 마지막 배점이 들어옵니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 1
풀이영상
더 빠른 길 — 근과 계수의 관계
a²−a−2=0의 두 근을 각각 구하지 않아도, 두 근의 합은 계수만 보고 −(−1)/1=1로 바로 읽힙니다.
다만 서술형에서는 두 근이 모두 실수이고 조건을 만족한다는 확인이 있어야 안전하므로, 판별식이나 인수분해 결과를 한 줄 덧붙인 뒤 합을 적으세요. 객관식이라면 이 한 줄로 끝납니다.
서술형 채점 포인트 3단
❶ f(a), 우극한, 좌극한을 a에 대한 식으로 나타내기 (30%)
❷ 연속 조건에서 a의 값 구하기 (50%)
❸ 모든 a의 값의 합 구하기 (20%)
❷에서 값만 툭 적으면 안 되고, “연속이려면 limx→a f(x)=f(a)이어야 하므로”라는 근거 문장을 반드시 넣으세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(a)를 x²−2로 잡는다
등호가 붙은 쪽은 x≥a, 즉 f(a)=a입니다. 등호 위치 하나로 방정식이 통째로 달라집니다. -
좌극한과 함숫값을 비교하지 않고 끝낸다
좌우극한이 같다는 것만으로는 연속이 아닙니다. 그 값이 f(a)와 같은지까지 확인하는 줄이 있어야 논리가 닫힙니다. -
a=2만 답하고 a=−1을 버린다
두 근 모두 x=a에서 연속이 되게 합니다. 인수분해 결과를 “a=−1 또는 a=2″로 또박또박 적고 넘어가세요. -
합이 아니라 곱이나 큰 값을 답한다
구한 것은 a의 값들이고, 물은 것은 그 합입니다. −1+2=1. 답을 쓰기 직전에 문제 문장의 마지막 단어를 다시 읽으세요. -
서술형인데 과정을 건너뛴다
세 값을 a로 나타내는 첫 단계에만 30%가 걸려 있습니다. 암산으로 방정식만 세우면 답이 맞아도 점수를 다 못 받습니다.
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