쎈수학 미적분Ⅰ · 01 함수의 극한
0065
난이도 중
서술형
함수의 극한의 성질
풀이영상 있음
난이도 중
서술형
함수의 극한의 성질
풀이영상 있음
풀이영상 먼저 보기
문제를 읽자마자
출제의도
lim g(x)가 존재한다고 미리 가정하지 말고, g를 극한이 알려진 함수들로 다시 쓰라는 문제
주어진 극한은 f(x)와 f(x)−2g(x) 두 개뿐입니다. g(x) 자체의 극한은 존재 여부조차 아직 보장되지 않았습니다. f(x)−2g(x)=h(x)로 이름을 붙이고 g를 f와 h의 합·실수배로 표현하는 순간, 극한의 성질을 쓸 자격이 생기고 값도 함께 나옵니다. 서술형 배점 40%가 걸린 곳이 바로 이 ‘표현’ 단계입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 가진 재료 확인하기
극한값을 아는 함수는 f(x)와 f(x)−2g(x), 이 두 개입니다.
이 두 재료를 더하고 빼고 상수배해서 g(x)를 만들 수 있을까요? 목표는 “g(x)= (아는 것)의 조합” 형태입니다.
이 두 재료를 더하고 빼고 상수배해서 g(x)를 만들 수 있을까요? 목표는 “g(x)= (아는 것)의 조합” 형태입니다.
힌트 2 — 이름 붙이기
f(x)−2g(x)=h(x)로 두면 limx→a h(x)=−9입니다.
이 식을 g에 대해 풀면 g(x) = {f(x)−h(x)} / 2. 이제 g는 극한이 존재하는 두 함수의 차의 ½배이므로, 극한의 성질을 그대로 적용할 수 있습니다.
이 식을 g에 대해 풀면 g(x) = {f(x)−h(x)} / 2. 이제 g는 극한이 존재하는 두 함수의 차의 ½배이므로, 극한의 성질을 그대로 적용할 수 있습니다.
힌트 3 — 대입, 그리고 부호
lim g(x) = ½{lim f(x) − lim h(x)} = ½{3 − (−9)}.
괄호 안이 12인지 −6인지 반드시 확인하세요. 그리고 서술형이므로 ① g를 f, h로 나타낸 줄(40%)과 ② 극한값을 구한 줄(60%)이 답안에 각각 보이게 쓰세요.
괄호 안이 12인지 −6인지 반드시 확인하세요. 그리고 서술형이므로 ① g를 f, h로 나타낸 줄(40%)과 ② 극한값을 구한 줄(60%)이 답안에 각각 보이게 쓰세요.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 6
빠른 길 — 다만 서술형에서는 한 줄이 더 필요합니다
lim g(x)=L로 놓으면 3−2L=−9에서 L=6. 계산은 이쪽이 훨씬 짧습니다.
그러나 이 풀이는 “L이 존재한다”를 전제로 시작합니다. 답안에 g(x)={f(x)−h(x)}/2 한 줄을 먼저 써서 존재 근거를 만든 뒤 이 계산으로 넘어가면, 짧으면서도 감점되지 않습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
lim g(x)=L로 바로 놓고 시작한다
존재 근거 없이 문자를 놓는 것이 이 문제에서 가장 흔한 감점입니다. g를 f, h로 나타내는 줄이 곧 40%짜리 채점 기준입니다. -
3−(−9)를 3−9로 계산한다
괄호 안은 12입니다. −3이 나왔다면 부호를 흘린 것이고, 이 문제 오답의 절반이 여기서 나옵니다. -
2로 나누는 것을 잊고 12를 답으로 쓴다
g(x)={f(x)−h(x)}/2입니다. 분모 2는 h를 도입할 때 이미 생긴 것이니 마지막까지 데려가세요. -
lim{f(x)−2g(x)}를 lim f(x)−2 lim g(x)로 곧장 분해한다
극한의 성질은 각 함수의 극한이 존재할 때만 쓸 수 있습니다. 아직 존재를 모르는 g를 분리하는 순간 논리가 뒤집힙니다. -
계산만 쓰고 표현 단계를 답안에서 생략한다
서술형은 결과가 아니라 경로에 점수가 붙습니다. ① 표현 → ② 성질 적용 → ③ 값, 세 줄이 눈에 보이게 배치하세요.
다른 문항도 풀어보기 — 전체 목록 바로가기 ›
문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트