쎈수학 미적분Ⅰ · 01 함수의 극한
0064
난이도 중
f(x)/x²의 극한
풀이영상 있음
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f(x)/x²의 극한
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문제를 읽자마자
출제의도
조건을 f(x)/x² 꼴로 고쳐 놓고, 구하는 식도 x²으로 나누라는 문제
조건식 (1/x²){f(x)−2x²}은 겉보기에 낯설지만 괄호를 풀면 f(x)/x²−2입니다. 즉 이 문제가 알려준 정보는 f(x)/x²→2 하나뿐입니다. 그 정보를 쓰려면 구하는 식에서도 f(x)가 반드시 x²과 짝을 이뤄야 하고, 그래서 분자·분모를 x²으로 나눕니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 조건부터 번역하기
조건식을 그대로 두지 말고 1/x²을 괄호 안으로 분배해 보세요.
(1/x²){f(x)−2x²} = f(x)/x² − 2입니다. 이것의 극한이 0이라면, f(x)/x²의 극한은 얼마인가요?
(1/x²){f(x)−2x²} = f(x)/x² − 2입니다. 이것의 극한이 0이라면, f(x)/x²의 극한은 얼마인가요?
힌트 2 — 무엇으로 나눌지 정하기
쓸 수 있는 정보는 f(x)/x²→2뿐입니다. 그러니 구하는 식에서도 f(x)는 x²과 짝을 이뤄야 합니다.
분자와 분모를 x로 나누면 f(x)/x가 남아 발산합니다. 나누는 기준은 x²입니다.
분자와 분모를 x로 나누면 f(x)/x가 남아 발산합니다. 나누는 기준은 x²입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
x²으로 나누면 분자는 5·f(x)/x² + 1/x, 분모는 2·f(x)/x² − 3/x + 1/x²입니다.
x→∞에서 1/x과 1/x²은 모두 0으로 갑니다. 남는 것은 (5·2)/(2·2)이고, 이 값을 기약분수로 고쳐 선지에서 찾으세요.
x→∞에서 1/x과 1/x²은 모두 0으로 갑니다. 남는 것은 (5·2)/(2·2)이고, 이 값을 기약분수로 고쳐 선지에서 찾으세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ 5/2
한 줄 요약 — 이 유형의 공식적인 반응
“f(x)와 xⁿ이 함께 묶인 조건이 나오면, 조건을 f(x)/xⁿ 꼴로 고친 뒤 구하는 식도 xⁿ으로 나눈다.”
0064는 n=2인 경우입니다. 조건이 (1/x){f(x)−3x}=0 꼴로 바뀌면 나누는 기준도 x로 따라 바뀝니다. 지수를 조건에서 읽어오는 것이 이 유형의 전부입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(x)=2x²으로 놓고 대입한다
조건은 f(x)−2x²이 x²에 비해 작다는 뜻이지 f(x)가 2x²이라는 뜻이 아닙니다. 이 문항은 답이 같아 보이지만 서술형에서는 근거 없는 가정으로 감점됩니다. f(x)/x²→2를 쓰세요. -
분자·분모를 x로 나눈다
x로 나누면 f(x)/x가 남고, 이것은 ∞로 발산해 아무 정보도 얻지 못합니다. 나누는 기준은 조건이 알려준 x²입니다. -
분모의 −3x와 +1을 나눌 때 빠뜨린다
x²으로 나누면 −3x는 −3/x, 상수 1은 1/x²이 됩니다. 두 항 모두 0으로 가지만, 옮겨 적는 과정에서 통째로 사라뜨리는 경우가 많습니다. -
10/4를 그대로 두고 선지를 찾는다
계산 결과는 (5·2)/(2·2)=10/4입니다. 기약분수 5/2로 고치지 않으면 선지에 없다고 판단해 처음부터 다시 푸는 시간 손실이 생깁니다. -
분자의 5가 f(x)에만 붙는 것을 놓친다
분자는 5f(x)+x이므로 x²으로 나누면 5·f(x)/x² + 1/x입니다. 5를 전체에 곱하면 값이 완전히 달라집니다.
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