쎈미적분1 0063

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쎈수학 미적분Ⅰ · 01 함수의 극한

0063
난이도 하
극한값 조건의 활용
풀이영상 있음

쎈 미적분1 0063번 문제

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문제를 읽자마자

출제의도

주어진 덩어리 (x+3)f(x)가 그대로 보이도록 인수분해하라는 문제

조건은 (x+3)f(x)의 극한 하나뿐입니다. f(x) 자체는 x=−3 근처에서 발산하므로 f(−3)을 구하려는 시도는 처음부터 막혀 있습니다. 2x²+7x+3을 (x+3)(2x+1)로 쪼개는 순간 문제는 끝납니다. 인수분해 한 줄을 보느냐 못 보느냐만 묻는 문항입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 방향부터 잡기
f(x)가 어떤 함수인지 알아내려 하고 있다면 멈추세요. (x+3)f(x)→2인데 x+3→0이므로 f(x)는 x=−3에서 발산합니다. f(−3)이라는 값은 없습니다.
쓸 수 있는 것은 (x+3)f(x)라는 덩어리 하나뿐입니다. 구하는 식에서 이 덩어리를 어떻게 만들어낼까요?
힌트 2 — 인수분해
2x²+7x+3에서 x=−3을 넣으면 18−21+3=0. 즉 x+3을 인수로 가집니다.
2x²+7x+3=(x+3)(2x+1)로 쪼개고, 구하는 식을 (2x+1)·{(x+3)f(x)} 꼴로 다시 쓰세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
두 부분이 각각 수렴하므로 극한을 분리해도 됩니다. lim(2x+1)은 x=−3을 대입해 −5, 나머지 덩어리는 조건에서 2.
두 값을 곱하기만 하면 됩니다. 부호를 놓치지 마세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

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정답 −10

쎈 미적분1 0063번 해설

확인하는 법 — 조건을 만족하는 함수 하나 만들어 보기

f(x)=2/(x+3)로 잡으면 (x+3)f(x)=2이므로 조건을 만족합니다. 이때 (2x²+7x+3)f(x)=(x+3)(2x+1)·2/(x+3)=2(2x+1)이고, x→−3에서 값은 −10.
답이 맞는지 불안할 때 조건을 만족하는 구체적인 함수를 하나 만들어 대입해 보는 것은 객관식·단답형에서 아주 빠른 검산법입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f(−3)의 값을 구하려 든다
    (x+3)f(x)→2이고 x+3→0이므로 f(x)는 발산합니다. “덩어리로 주어진 조건은 덩어리째 쓴다”가 이 유형의 기본 반응이어야 합니다.
  • 2x²+7x+3을 (2x+3)(x+1)로 잘못 쪼갠다
    x+3이 인수여야 조건을 쓸 수 있습니다. 쪼갠 뒤 x=−3을 넣어 0이 되는지 한 번만 확인하면 이 실수는 사라집니다.
  • 2x+1에 x=−3을 넣으며 부호를 흘린다
    2·(−3)+1=−5입니다. −6+1을 −7이나 +5로 쓰는 사고가 잦습니다. 답이 −14나 10으로 나왔다면 여기입니다.
  • 수렴 확인 없이 극한을 분리한다
    곱의 극한을 나눠 쓰려면 두 극한이 각각 존재해야 합니다. 이 문제에서는 (2x+1)이 −5로, (x+3)f(x)가 2로 각각 수렴한다는 점을 먼저 적고 분리하세요.
  • 답에 단위처럼 괄호나 선지 번호를 붙인다
    이 문항은 값을 직접 쓰는 문항입니다. −10이라는 정수 하나만 적으면 됩니다.


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