쎈수학 미적분Ⅰ · 01 함수의 극한
0062
대표 문제
∞/∞ 꼴 미정형
풀이영상 있음
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문제를 읽자마자
출제의도
f와 g를 따로 구하려 하지 말고, 주어진 덩어리 f−g를 그대로 쓰라는 문제
알려준 정보는 딱 두 개입니다. f(x)는 발산하고, f(x)−g(x)는 2로 수렴한다는 것. f나 g가 다항함수라는 말은 어디에도 없으므로 식을 세워서 계산하는 문제가 아닙니다. f−g를 새 문자로 묶고, 구하는 식을 f와 그 문자만으로 다시 쓴 다음, f로 나누는 것이 전부입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
g(x)의 극한을 구하려 하고 있다면 멈추세요. f(x)가 ∞로 가므로 g(x)도 ∞로 갑니다. 각각의 극한은 쓸모가 없습니다.
대신 f(x)−g(x)=h(x)로 놓아 보세요. 그러면 g(x)는 f(x)와 h(x)로 어떻게 표현되나요?
대신 f(x)−g(x)=h(x)로 놓아 보세요. 그러면 g(x)는 f(x)와 h(x)로 어떻게 표현되나요?
힌트 2 — 한 문자로 밀어넣기
g(x)=f(x)−h(x)를 구하는 식에 그대로 대입하세요.
분자는 f+{f−h}=2f−h, 분모는 2f−3{f−h}=−f+3h가 됩니다. 분모의 부호를 특히 조심하세요.
이제 남은 것은 (2f−h)/(−f+3h)입니다. f(x)→∞이므로 무엇으로 나눠야 할까요?
분자는 f+{f−h}=2f−h, 분모는 2f−3{f−h}=−f+3h가 됩니다. 분모의 부호를 특히 조심하세요.
이제 남은 것은 (2f−h)/(−f+3h)입니다. f(x)→∞이므로 무엇으로 나눠야 할까요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
분자·분모를 f(x)로 나누면 {2−h/f} / {−1+3·h/f} 꼴이 됩니다.
h(x)는 2로 수렴하고 f(x)는 ∞로 발산하므로 h(x)/f(x)→0입니다. 이 한 줄이 이 문제의 결정타이고, 서술형이라면 반드시 적어야 하는 근거입니다.
h(x)는 2로 수렴하고 f(x)는 ∞로 발산하므로 h(x)/f(x)→0입니다. 이 한 줄이 이 문제의 결정타이고, 서술형이라면 반드시 적어야 하는 근거입니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ② −2
다른 풀이 — g/f의 극한을 먼저 잡기
f(x)−g(x)는 2로 수렴하고 f(x)는 ∞로 발산하므로 {f(x)−g(x)}/f(x)→0, 즉 1−g(x)/f(x)→0이므로 g(x)/f(x)→1입니다.
구하는 식의 분자·분모를 f(x)로 나누면 {1+g/f} / {2−3·g/f} = (1+1)/(2−3) = −2. 치환 없이 곧장 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(x)−g(x)=2로 놓고 g(x)=f(x)−2를 대입한다
주어진 것은 극한값이 2라는 것이지 두 함수의 차가 항상 2라는 뜻이 아닙니다. 이 문제는 우연히 답이 같아 보이지만, 서술형이면 여기서 감점됩니다. 반드시 f−g=h로 두고 lim h=2를 근거로 쓰세요. -
f, g를 다항함수로 가정하고 최고차항을 비교한다
문제 어디에도 다항함수라는 조건이 없습니다. 조건에 없는 성질을 가져다 쓰면 답이 맞아도 풀이가 아닙니다. -
분모의 부호를 흘린다
2f−3g = 2f−3(f−h) = −f+3h입니다. 2f−3f를 +f로 쓰는 순간 답이 2로 뒤집힙니다. 답이 2가 나왔다면 이 경우입니다. -
h(x)/f(x)→0의 근거를 쓰지 않는다
분자가 2로 수렴하고 분모가 ∞로 발산하므로 0이라는 한 줄이 이 문제의 핵심 근거입니다. 이 줄이 빠지면 f로 나눈 다음 단계가 통째로 공중에 뜹니다. -
f(x)로 나누지 않고 x로 나눈다
여기서 무한대로 가는 것은 x가 아니라 f(x)입니다. 나누는 기준은 항상 “가장 크게 발산하는 것”이고, 이 문제에서는 f(x)입니다.
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