242 지수법칙 (4) ✨: 실수 지수, 무리수 지수도 OK!
⭐ 핵심만정리
지수의 세계가 드디어 실수 전체로 확장되었어요! 지수가 무리수(√2, π 등)여도 지수법칙은 여전히 우리 편! (단, 밑 a, b > 0이고, x, y는 실수예요!) 🌠
- 곱셈: ax × ay = ax+y
- 나눗셈: ax ÷ ay = ax-y
- 거듭제곱의 거듭제곱: (ax)y = axy
- 곱의 거듭제곱: (ab)x = axbx
- 몫(분수)의 거듭제곱: (ab)x = axbx
밑이 양수라는 조건만 있다면, 지수가 어떤 실수이든 간에 우리가 알고 있는 지수법칙들을 마음껏 사용할 수 있답니다! 정말 대단하죠? 🥳
📚 개념정리
안녕, 지수법칙 탐험의 마지막 단계에 도달한 친구들! 🏆 지금까지 우리는 지수가 양의 정수, 0, 음의 정수, 그리고 유리수(분수)인 경우까지 지수의 세계를 넓혀왔어요. 오늘은 드디어 지수가 무리수를 포함한 실수 전체로 확장될 때도 지수법칙이 여전히 유효한지 알아볼 거예요! 과연 2√2 같은 수도 계산할 수 있을까요? 함께 그 비밀을 파헤쳐 봅시다! 😊
실수 지수의 정의: 무리수 지수는 어떻게 약속할까? 🤔
지수가 무리수인 경우, 예를 들어 2√2 같은 값은 어떻게 정의할까요? √2는 약 1.41421356… 처럼 끝없이 계속되는 무리수죠. 수학자들은 이런 무리수 지수를 다음과 같이 생각했어요.
√2에 한없이 가까워지는 유리수들 (예: 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, …)을 지수로 갖는 수들 21, 21.4, 21.41, 21.414, 21.4142, … 을 생각해보면, 이 값들이 어떤 일정한 수에 한없이 가까워진다는 사실이 알려져 있어요. 이때 그 일정한 수를 바로 2√2라고 약속(정의)한 것이랍니다.
이렇게 밑 a > 0이고 지수 x가 모든 실수일 때 ax의 값이 하나로 결정돼요. 그리고 가장 중요한 것은, 이렇게 정의된 실수 지수에 대해서도 우리가 이미 알고 있는 지수법칙이 모두 성립한다는 사실이에요!
실수 지수에서도 변함없는 지수법칙들! ✨
밑 a, b가 0보다 크고, 지수 x, y가 실수일 때 성립하는 지수법칙들은 다음과 같아요. 유리수 지수일 때와 똑같죠?
- 곱셈: ax × ay = ax+y
- 나눗셈: ax ÷ ay = ax-y
- 거듭제곱의 거듭제곱: (ax)y = axy
- 곱의 거듭제곱: (ab)x = axbx
- 몫(분수)의 거듭제곱: (ab)x = axbx
이제 지수가 어떤 실수가 오더라도, 밑이 양수라는 조건만 만족하면 이 강력한 지수법칙들을 자유롭게 사용할 수 있게 되었어요! 🥳
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✅ 개념확인
✏️ 문제: 다음 식을 간단히 하시오. (단, a > 0)
(1) 5√18 × 5√8
(2) (3√2)√50
(3) a√3 × a√48 ÷ a√12
(숫자 및 루트 안의 수 변경: (1) 7√12×7√27 (2) (5√3)√27 (3) a√2×a√32÷a√8)💡 풀이:
지수가 실수일 때의 지수법칙을 이용해서 계산해 봅시다! 루트 안의 수를 먼저 간단히 하는 것이 좋아요.
(1) 5√18 × 5√8
√18 = √(9×2) = 3√2 이고, √8 = √(4×2) = 2√2 이므로,
주어진 식은 53√2 × 52√2 입니다.
밑이 5로 같으므로 지수끼리 더하면:
= 53√2 + 2√2 = 55√2
(2) (3√2)√50
√50 = √(25×2) = 5√2 이므로,
주어진 식은 (3√2)5√2 입니다.
지수법칙 (ax)y = axy를 이용하면, 지수끼리 곱해요:
= 3√2 × 5√2 = 35 × (√2 × √2) = 35 × 2 = 310
(3) a√3 × a√48 ÷ a√12
√48 = √(16×3) = 4√3 이고, √12 = √(4×3) = 2√3 이므로,
주어진 식은 a√3 × a4√3 ÷ a2√3 입니다.
밑이 a로 같으므로 지수끼리 계산하면:
= a√3 + 4√3 – 2√3 = a(1+4-2)√3 = a3√3 😄
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💡 참고
지수가 실수로 확장될 때도 여전히 밑이 양수(>0)여야 한다는 조건은 매우 중요해요! 🌟
만약 밑이 음수인데 지수가 무리수라면, 예를 들어 (-2)√2 같은 수는 정의하지 않아요. 왜냐하면 무리수는 순환하지 않는 무한소수라서 그 값을 일관되게 정의하기 어렵고, 우리가 아는 지수법칙들이 성립하지 않을 수 있기 때문이에요.
그래서 지수의 범위를 실수 전체로 생각할 때는 항상 밑이 양수인 경우로 제한한답니다. 이렇게 하면 우리가 배운 모든 지수법칙들이 지수가 정수든, 유리수든, 무리수든 상관없이 항상 성립하게 되어 매우 편리하게 계산할 수 있어요! 수학의 아름다운 일관성이죠? 😉