⭐ 핵심만정리

지수가 유리수(분수)로 확장되어도 지수법칙은 여전히 유효해요! (단, 밑 a, b > 0이고, p, q는 유리수예요!) 💯

• 곱셈: a^p × a^q = a^p+q
• 나눗셈: a^p ÷ a^q = a^p-q
• 거듭제곱의 거듭제곱: (a^p)^q = a^pq
• 곱의 거듭제곱: (ab)^p = a^pb^p
• 몫(분수)의 거듭제곱: (ab)^p = a^pb^p

밑이 양수라는 조건만 잘 지켜주면, 정수 지수에서 사용했던 지수법칙들을 그대로 사용할 수 있어서 정말 편리하답니다! 👍

📚 개념정리

안녕, 지수 법칙 마스터를 향해 나아가는 친구들! 🌠 지난 시간에는 지수가 0 또는 음의 정수인 경우와 유리수인 경우를 새롭게 정의했었죠? 오늘은 이렇게 확장된 유리수 지수에서도 우리가 알고 있던 지수법칙들이 여전히 멋지게 작동하는지 확인해 볼 거예요! 결론부터 말하면, 밑이 양수(a > 0, b > 0)이기만 하다면, 지수가 유리수(p, q)일 때도 기존의 지수법칙을 그대로 사용할 수 있답니다! 정말 편리하죠? 😄

유리수 지수에서도 통하는 지수법칙들! 📜

밑 a, b가 0보다 크고, 지수 p, q가 유리수일 때 성립하는 지수법칙들은 다음과 같아요.

1. 곱셈: a^p × a^q = a^p+q
   밑이 같은 거듭제곱의 곱은 지수끼리 더해요. 지수가 분수여도 이 법칙은 변하지 않아요!
   예를 들어, a^p = a^m/n, a^q = a^r/s (m,n,r,s는 정수, n≥2, s≥2)라고 하면, 거듭제곱근의 성질을 이용해서 ⁿ√a^m × ^s√a^r를 계산하고 정리하면 결국 a^(ms+nr)/ns = a^{m/n + r/s} = a^p+q가 된답니다!
2. 나눗셈: a^p ÷ a^q = a^p-q
   밑이 같은 거듭제곱의 나눗셈은 지수끼리 빼요. 이것도 유리수 지수에서 그대로 적용돼요.
3. 거듭제곱의 거듭제곱: (a^p)^q = a^pq
   지수끼리 곱하는 이 법칙도 문제없이 성립해요.
4. 곱의 거듭제곱: (ab)^p = a^pb^p
   각각 거듭제곱해서 곱하는 이 법칙도 마찬가지예요.
5. 몫(분수)의 거듭제곱: (ab)^p = a^pb^p
   분자, 분모 각각 거듭제곱하는 이 법칙도 유리수 지수에서 잘 적용된답니다.

이렇게 지수의 범위가 유리수까지 확장되어도 우리가 알고 있던 지수법칙의 기본 틀은 변하지 않아요. 다만, 밑이 양수(>0)여야 한다는 조건이 추가되었다는 점을 꼭 기억해주세요! 이 조건 덕분에 지수법칙이 모순 없이 일관되게 성립할 수 있답니다.

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✅ 개념확인

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💡 참고