⭐ 핵심만정리

지수가 분수(유리수)가 되어도 당황하지 마세요! 거듭제곱근과 아주 친한 사이랍니다! (단, 밑 a > 0이고, m은 정수, n은 2 이상의 정수일 때 적용돼요!) 🤝

• 유리수 지수의 정의 (핵심! ⭐): a^m/n = ⁿ√a^m
  • 지수의 분모 n은 거듭제곱근의 종류(n제곱근)를 나타내요.
  • 지수의 분자 m은 루트 안의 수의 지수를 나타내요.
• 특별한 경우: a^1/n = ⁿ√a (분자가 1일 때는 루트 안의 지수가 1이 되는 거죠!)

예를 들어, 8^2/3은 “8의 제곱(8²=64)에다가 세제곱근을 씌운 값” 즉, ³√64 = 4와 같아요. 또는 “(세제곱근 8)의 제곱” 즉, (³√8)² = 2² = 4 와도 같답니다! 신기하죠? 😉

📚 개념정리

안녕, 지수 탐험의 다음 단계에 온 친구들! 🚀 지난 시간에는 지수가 0이거나 음의 정수인 경우까지 지수의 세계를 넓혀봤죠? 오늘은 한 걸음 더 나아가, 지수가 분수 형태, 즉 유리수일 때는 어떻게 정의하고 계산하는지 알아볼 거예요. 유리수 지수는 우리가 이미 배운 ‘거듭제곱근’과 아주 밀접한 관련이 있답니다! 😊

지수를 유리수까지 확장하는 이유: 여전히 지수법칙! 🔗

수학자들은 지수의 범위가 유리수일 때도 기존의 지수법칙, 특히 (a^p)^q = a^pq와 같은 법칙이 여전히 성립하기를 바랐어요. 이 바람을 이루기 위해 유리수 지수를 어떻게 정의했는지 살펴봅시다! (단, 앞으로 밑 a는 항상 0보다 크다고 (a > 0) 약속할게요!)

유리수 지수의 정의: 분수 지수는 거듭제곱근으로 변신! 💫

a > 0이고, m은 정수, n은 2 이상의 정수일 때, 유리수 지수 a^m/n는 다음과 같이 정의해요.

a^m/n = ⁿ√a^m

이게 무슨 뜻일까요? 풀어서 설명하면 이래요:

• 지수의 분모 n은 거듭제곱근의 종류, 즉 ‘n제곱근’을 의미해요.
• 지수의 분자 m은 거듭제곱근 안의 수 a에 대한 지수, 즉 a^m을 의미해요.

만약 지수법칙 (a^x)^y = a^xy가 유리수 지수에서도 성립한다고 가정하면, (a^m/n)ⁿ = a^(m/n)×n = a^m이 되어야겠죠? n번 제곱해서 a^m이 되는 양수 중 하나가 바로 a^m/n이므로, 이것은 a^m의 양의 n제곱근, 즉 ⁿ√a^m과 같아야 한다는 결론이 나와요! 그래서 이렇게 정의하게 된 거랍니다. 😉

특히, 분자 m=1인 경우, 즉 지수가 1/n 형태일 때는 다음과 같아요.

a^1/n = ⁿ√a¹ = ⁿ√a

이렇게 유리수 지수는 거듭제곱근을 사용하여 표현할 수 있고, 반대로 거듭제곱근도 유리수 지수를 사용하여 표현할 수 있게 되었어요! 지수의 세계가 한층 더 넓어졌죠?

연산 PDF 링크 삽입 위치

✅ 개념확인

연산 PDF 링크 삽입 위치

💡 참고