⭐ 핵심만정리

지수가 0이거나 음의 정수까지 확장되어도, 우리가 알던 지수법칙은 여전히 통해요! (단, 밑 a, b ≠ 0이고, m, n은 정수예요!) 🛡️

• 곱셈: a^m × aⁿ = a^m+n
• 나눗셈: a^m ÷ aⁿ = a^m-n (이제 나눗셈도 이 하나로 통일!)
• 거듭제곱의 거듭제곱: (a^m)ⁿ = a^mn
• 곱의 거듭제곱: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
• 몫(분수)의 거듭제곱: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ

이제 지수가 정수 범위로 넓어졌으니, 지수법칙을 더욱 강력하게 사용할 수 있게 되었어요! 💪

📚 개념정리

안녕, 지수 마법사 친구들! 🪄 지난 시간에 지수가 0이거나 음의 정수일 때를 새롭게 정의했었죠? (a⁰ = 1, a^-n = 1/aⁿ). 이렇게 지수의 세계가 정수까지 넓어졌는데, 과연 우리가 이전에 배웠던 지수법칙들이 이 새로운 세계에서도 잘 통할까요? 정답은 “네, 그렇습니다!” 예요! 😄 오늘은 지수가 정수일 때도 지수법칙이 여전히 성립하는지 함께 확인해 볼게요.

기존에 지수가 양의 정수일 때 성립했던 지수법칙들이, 지수가 0 또는 음의 정수까지 확장되어도 똑같이 적용된답니다. 단, 밑이 0이 되는 경우는 제외해야 하니, a ≠ 0, b ≠ 0 이고 m, n이 정수일 때 다음 지수법칙들이 성립해요.

지수가 정수일 때의 지수법칙들! 📜

1. 곱셈: a^m × aⁿ = a^m+n
   밑이 같은 거듭제곱의 곱은 지수끼리 더해요. m, n이 양의 정수일 때는 당연히 성립했죠? 만약 m, n 중 하나가 0이거나 음수여도, 또는 둘 다 음수여도 이 법칙은 여전히 성립한답니다!
   예를 들어, m = -p, n = -q (p, q는 양의 정수)라고 하면,
   a^-p × a^-q = (1/a^p) × (1/a^q) = 1/a^p+q = a^-(p+q) = a^(-p)+(-q) = a^m+n. 정말 성립하죠?
2. 나눗셈: a^m ÷ aⁿ = a^m-n
   밑이 같은 거듭제곱의 나눗셈은 지수끼리 빼요. 예전에는 m, n의 크기에 따라 세 가지 경우로 나누었지만, 이제 지수가 정수로 확장되면서 이 하나의 식으로 통일된답니다!
   예) a² ÷ a⁵ = a^2-5 = a^-3 = 1/a³ (예전 방식: 1/a^5-2 = 1/a³과 같죠?)
   예) a³ ÷ a³ = a^3-3 = a⁰ = 1 (예전 방식: 1과 같죠?)
3. 거듭제곱의 거듭제곱: (a^m)ⁿ = a^mn
   지수끼리 곱하는 이 법칙도 정수 지수에서 그대로 성립해요.
4. 곱의 거듭제곱: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
   각각 거듭제곱해서 곱하는 이 법칙도 마찬가지예요.
5. 몫(분수)의 거듭제곱: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
   분자, 분모 각각 거듭제곱하는 이 법칙도 정수 지수에서 잘 적용된답니다.

이렇게 지수의 범위를 정수로 확장해도 기존의 지수법칙들이 그대로 유지되기 때문에, 우리는 더욱 다양한 상황에서 지수법칙을 편리하게 사용할 수 있게 되었어요! 🎉

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✅ 개념확인

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💡 참고