⭐ 핵심만정리

지수의 세계가 더 넓어졌어요! 이제 지수가 0이거나 음수일 때도 정의할 수 있답니다! (단, 밑 a ≠ 0이고, n은 양의 정수일 때 적용돼요!) 🪐

• 0제곱의 약속: 어떤 수(0 제외)의 0제곱은 항상 1이에요!
  a⁰ = 1
• 음수 지수의 약속: a의 -n제곱은 a의 n제곱의 역수와 같아요!
  a^-n = 1aⁿ

이 새로운 약속들 덕분에 지수법칙이 지수가 정수일 때도 일관되게 성립할 수 있게 된답니다! 멋지죠? 😎

📚 개념정리

안녕, 지수 탐험가 친구들! 🚀 지금까지 우리는 지수가 양의 정수인 경우만 다루어 왔어요. 하지만 수학자들은 지수의 세계를 더 넓히고 싶어 했답니다! 그래서 지수가 0일 때, 그리고 음수인 정수일 때는 어떻게 정의하면 좋을지 고민했고, 아주 멋진 약속을 만들었어요. 함께 그 약속의 세계로 떠나볼까요? 😊

지수를 정수까지 확장하는 이유: 지수법칙의 일관성! 📏

새로운 것을 정의할 때는 기존의 규칙들(여기서는 지수법칙!)이 잘 유지되도록 하는 것이 중요해요. 우리가 이미 알고 있는 지수법칙 중 하나인 a^m ÷ aⁿ = a^m-n (a ≠ 0, m > n인 양의 정수) 이 법칙이 지수가 0이거나 음수일 때도 자연스럽게 성립하도록 a⁰과 a^-n을 정의한 거랍니다.

1. 0제곱의 정의: a⁰ = 1 (단, a ≠ 0)

만약 지수법칙 a^m ÷ aⁿ = a^m-n이 m = n일 때도 성립한다고 가정해 볼까요? (여기서 m, n은 양의 정수)

그러면 a^m ÷ a^m은 두 가지 방법으로 생각할 수 있어요.

• 원래 정의대로: 똑같은 수로 나누니 당연히 1이겠죠.
• 지수법칙을 적용하면: a^m-m = a⁰이 돼요.

이 두 결과가 같아야 하므로, 수학자들은 “a⁰ = 1 (단, a ≠ 0)” 이라고 약속하게 된 거예요! 0이 아닌 어떤 수의 0제곱은 항상 1이랍니다! (0의 0제곱은 정의하지 않아요!)

2. 음수 지수의 정의: a^-n = 1aⁿ (단, a ≠ 0, n은 양의 정수)

이번에는 지수법칙 a^m ÷ aⁿ = a^m-n이 m = 0일 때도 성립한다고 가정해 봅시다. (여기서 n은 양의 정수)

그러면 a⁰ ÷ aⁿ도 두 가지 방법으로 생각할 수 있어요.

• 원래 정의대로 (a⁰=1을 이용해서): 1 ÷ aⁿ = 1aⁿ.
• 지수법칙을 적용하면: a^0-n = a^-n이 돼요.

이 두 결과가 같아야 하므로, “a^-n = 1aⁿ (단, a ≠ 0, n은 양의 정수)” 이라고 약속한 것이랍니다! 즉, 음수 지수는 그 지수의 절댓값만큼 거듭제곱한 것의 ‘역수’를 의미해요. (0의 음수 제곱도 정의하지 않아요!)

이렇게 지수를 0과 음의 정수까지 확장함으로써, 기존의 지수법칙들이 더 넓은 범위에서 일관되게 사용될 수 있게 되었답니다! 정말 멋진 생각이죠? 😄

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✅ 개념확인

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💡 참고