발상의 출발점모든 α 에서 극한이 존재한다는 조건은 결국 분모 f(x) 의 실근에만 걸린다. 근 t 에서 분자도 0 이어야 하므로 2t+1 도 근이 되고, 이 연쇄가 삼차방정식 안에서 멈추려면 t=−1 하나뿐이다. 그래서 f 는 x=−1 만 실근으로 갖는 삼차식이 되고, 인수분해한 이차식의 판별식과 상수항 4 가 a 의 범위를 정한다. f(1) 이 a 의 일차식이라 정수 a 의 끝값에서 최댓값이 나온다.

실수 포인트 ①f(t)=0 에서 f(2t+1)=0 까지만 쓰고 멈추는 실수. 2t+1 도 분모의 근이 되므로 다시 f(4t+3)=0 이 이어지고, t≠−1 이면 근이 무수히 생긴다 → 실근은 −1 뿐이다.

실수 포인트 ②x=−1 을 삼중근으로 두어 f(x)=(x+1)³ 을 답으로 쓰는 실수. 이 경우 상수항이 1 이라 f(0)=4 와 맞지 않는다 → 한 실근과 서로 다른 두 허근인 경우만 남는다.

실수 포인트 ③판별식에 등호를 넣어 a=5, f(1)=18 을 답하는 실수. a=5 면 이차식이 (x+2)² 이 되어 x=−2 도 실근이 되므로 조건을 어긴다 → a 의 최댓값은 4, f(1)=16.

정답 16 (a=4, b=7, f(1)=2a+8=16)