마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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TOUGH최다빈출왕중요01-1 함수의 극한 함수의 극한
②a=2, b=−4, 극한값 −1
√x²+5−3 이 0 으로 가니 분모 ax+b 도 0 으로 맞추세요 a, b 가 정해진 뒤의 ∞−∞ 는 다시 켤레로 푼다.개념 카드 · 미정계수의 결정(무리식) 「분자→0·극한값≠0 ⇒ 분모→0, ∞−∞ 는 켤레 곱」
limx→2 (√(x²+5)−3)/(ax+b)=1/3. 분자 √(4+5)−3=√9−3=0이다. 극한값 1/3은 0이 아니므로 분모도 0이어야 한다. x=2 대입: 2a+b=0 → b=−2a. 값을 구하기 전에 관계식부터 뽑아내는 게 순서다.◀ 위가 0인데 답이 0이 아니면, 아래도 0으로 맞춰라
b=−2a를 넣으면 분모는 ax−2a=a(x−2). 분자 √(x²+5)−3에 켤레 √(x²+5)+3을 곱하면 (x²+5−9)=x²−4=(x−2)(x+2). (x−2)가 약분되어 (x+2)/[a(√(x²+5)+3)]. x=2 대입: 4/(6a)=1/3 → 6a=12 → a=2, b=−4.◀ √가 든 0/0은 켤레로 곱해 (x−2)를 만들어 약분
a=2, b=−4이면 limx→∞(√(4x²−4x)−2x). √(4x²+…)≈2x라 ∞−∞ 부정형. 켤레 √(4x²−4x)+2x를 곱하면 분자는 −4x. x로 나누면 −4/(√(4−4/x)+2) → −4/(√4+2)=−4/4=−1.◀ 이 문제의 출제 포인트
발상의 출발점무리식 극한의 두 장면을 모두 유리화로 돌파한다. x→2에서는 분자가 0/0이므로 켤레를 곱해 (x−2)(x+2)를 만들어 약분 → 4/(6a)=1/3에서 a=2, b=−4. x→∞에서는 √(4x²−4x)−2x가 ∞−∞ 부정형이라 다시 켤레로 유리화한 뒤 x로 나눠 −4/(√4+2)=−1.
실수 포인트 ①x→∞에서 √(4x²)를 4x로 착각하는 실수. √(4x²)=2x(x>0)이다.
실수 포인트 ②유리화 후 분모·분자를 x로 나눌 때 √ 안은 x²로 나눠 넣어야 한다(4x²−4x → 4−4/x).
실수 포인트 ③b=−2a 관계식을 안 뽑고 a, b를 따로 구하려다 막히는 실수. 분모→0 조건에서 관계식부터 확보한다.
정답 ② (a=2, b=−4, 극한값 −1)
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