마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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TOUGH01-1 함수의 극한 합성함수의 극한
①(−2)+(−1)=−3
곱은 x+2, −1−x 가 각각 어느 쪽에서 다가가는지 나눠 보세요 −1−x 처럼 앞에 −가 붙은 치환은 방향이 뒤집힌다.개념 카드 · 합성함수의 극한 「곱은 각각 치환해 곱하고, g(f(x))는 안→밖 순서」
x→0+일 때 x+2=t로 놓으면 t→2+. 즉 limt→2+f(t)를 그래프에서 읽으면 2다. (x+2)라는 껍데기에 겁먹지 말고, 새 변수 t가 어느 값에 어느 방향(+, −)으로 가는지만 정확히 옮겨라.◀ 치환하면 도착점과 접근 방향(+, −)이 그대로 따라간다
−1−x=s로 놓으면 x→0+일 때 s→−1−. x가 오른쪽(+)으로 가도 앞에 −가 붙어 s는 왼쪽(−)으로 간다. 그래서 lims→−1−g(s)=−1. 부호가 붙은 치환은 방향을 반드시 뒤집어 확인하라.◀ −부호가 붙으면 좌·우 방향이 반대로 뒤집힌다
f(x)=r로 놓으면 x→−1−일 때 f(x)→0+, 즉 r→0+. 이제 limr→0+g(r)=−1. 안쪽 극한(f→0+)을 먼저 구하고 그 값을 바깥함수 g에 다시 극한으로 넣는 2단 로켓이다.◀ 합성극한은 ‘안쪽 먼저, 바깥 나중’ 순서가 생명
발상의 출발점두 극한 모두 그래프를 곧바로 읽는 게 아니라 x+2, −1−x, f(x)처럼 인자가 변형돼 있어 치환이 필수다. 껍데기를 새 변수(t, s, r)로 바꾸고, 그 변수가 어느 점에 어느 방향으로 가는지 옮긴 뒤 그래프를 읽으면 된다. 두 극한이 각각 존재하므로 곱은 따로 구해 곱하면 끝난다.
실수 포인트 ①−1−x=s에서 x→0+니까 s도 +방향이라고 착각하는 실수. 앞의 −부호 때문에 s→−1−로 방향이 뒤집힌다.
실수 포인트 ②합성 g(f(x))에서 f(x)의 함숫값(●)을 그대로 g에 대입하는 실수. 극한은 f(x)가 가는 극한값 0+를 g의 극한으로 넣어야 한다.
실수 포인트 ③곱 lim f(x+2)g(−1−x)를 하나로 뭉쳐 헷갈리는 실수. 각 극한이 존재하니 2×(−1)=−2로 분리 계산하라. 여기에 g(f(x))의 −1을 더해 (−2)+(−1)=−3.
정답 ① ((−2)+(−1)=−3)
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