2026년 3월 고3 모의고사 수학1 4점 난이도 ★★★★☆ 출제영역: 수열

😰 “조건이 두 갈래로 나뉘니까 어디서부터 손을 대야 할지 감이 안 잡혀요”

→ 조건부 수열 문제에서 가장 흔한 실수는 경우를 나눠야 하는데 통째로 공식을 세우려는 것과, 부분합의 주기성을 발견하지 못하고 하나하나 다 더하는 것입니다.

① 조건이 “n이 5의 배수인 경우 / 아닌 경우”처럼 나뉘면, 먼저 처음 몇 항을 직접 나열해서 패턴(주기)을 찾으세요. 5개 단위로 반복되는 구조가 보일 거예요.

② 주기를 찾았으면 한 주기의 부분합을 구한 뒤, 전체 합을 “주기 수 × 한 주기 합 + 나머지”로 계산하면 훨씬 빠릅니다.

💪 조건부 수열의 주기성을 잡는 연습을 하면, 12번 등비수열 귀납(4점)이나 수능 킬러 수열 문제까지 자신감이 붙어요!

📋 문제

🎯 이 문제의 핵심 포인트

Point 1. 조건부 수열 → 처음 몇 항 직접 나열하여 주기 파악

n이 5의 배수인지 아닌지에 따라 수열의 정의가 달라지므로, 일단 a₁부터 a₁₀ 정도까지 직접 구해보세요.

5개 단위로 부분합이 어떻게 변하는지 패턴을 잡는 것이 핵심입니다.

Point 2. 부분합의 범위 조건 → 경우 분류

∑aₖ ≤ 30 을 만족시키는 m의 범위를 구할 때, 한 주기 합이 일정한지 증가하는지에 따라 m의 범위가 달라집니다.

5t-4부터 5t까지의 부분합을 t에 대한 식으로 정리한 뒤, 부등식을 풀어야 해요.

Point 3. 풀이 순서

① 조건에 따라 a₁~a₁₀ 직접 계산 → ② 5개 단위 부분합 패턴 파악 → ③ 각 구간별 ∑aₖ ≤ 30 만족하는 m 찾기 → ④ 모든 m의 합 계산

STEP 1. 수열의 규칙 파악

해설지에 따르면, 자연수 t에 대해 5개씩 묶어서 분석합니다.

n이 5의 배수가 아닌 경우와 5의 배수인 경우를 나눠 a₅ₜ₋₄ ~ a₅ₜ의 합을 구하면, t에 따라 부분합이 달라지는 구조를 파악할 수 있어요.

STEP 2. 5개 단위 부분합 계산

각 구간(5t-4 ≤ k ≤ 5t)의 부분합을 정리하면, t값에 따라 5t-4, 10t-7, 15t-9, 20t-10, 0 형태의 누적합을 얻습니다.

STEP 3. ≤30 조건으로 m 범위 결정

각 경우별로 부분합이 30 이하인 m의 범위를 구하고, 해당하는 모든 자연수 m을 찾습니다.

해설지에 따르면 (ⅰ)~(ⅳ) 경우 분류를 통해 조건을 만족시키는 m의 값의 합은

정답: 67

※ 정확한 수치와 계산 과정은 위 해설 이미지를 참고하세요.

조건 분기 착각: “n이 5의 배수가 아닌 경우”와 “5의 배수인 경우”를 정확히 구분하세요. n=5일 때 어떤 조건에 해당하는지 헷갈리면 첫 항부터 틀립니다.
부분합 누적 오류: 5개씩 묶어 합을 구할 때, 이전 구간까지의 누적합을 빠뜨리거나 이중으로 더하는 실수가 흔해요. 구간별로 표를 만들어 정리하면 확실합니다.
부등식 풀이에서 경계값 실수: ≤30 이므로 등호 포함 여부를 정확히 따지세요. 부분합이 정확히 30인 m도 포함됩니다.
“모든 m의 합” 빠짐 확인: 경우를 나눠서 m을 찾은 뒤, 마지막에 모든 m을 빠짐없이 더했는지 한 번 더 체크하세요. 경우 하나를 빼먹으면 답이 크게 달라져요.