2026년 3월 고3 모의고사 수학2 4점 난이도 ★★★★★ 출제영역: 미분법

😰 “g(x)가 미분가능하다는 조건에서 뭘 끌어내야 하는지 감이 안 잡혀요”

→ 조각함수의 미분가능 조건을 세울 때 연속 조건(좌극한=우극한=함숫값)과 미분계수 일치 조건(좌미분=우미분)을 순서대로 따로 세우지 않고 한꺼번에 처리하려다 꼬이는 경우가 많아요.

① 미분가능 문제는 무조건 “연속 먼저 → 미분 다음” 순서를 지키세요. 연속에서 식 하나, 미분에서 식 하나 — 이렇게 두 개의 등식을 확보하는 게 핵심입니다.

② 조건 (가), (나)처럼 집합·부분집합 조건이 붙으면, 먼저 f(x)의 극값 구조(극대·극소 위치와 부호)를 파악한 뒤 경우를 나누세요.

💪 이 문제의 논리 구조를 완전히 소화하면, 미분 추론형 4점은 물론이고 21번 적분+미분 복합 문제까지 자신감이 붙습니다!

📋 문제

🎯 이 문제의 핵심 포인트

Point 1. 조각함수의 미분가능 → 연속 + 미분계수 일치

x=0에서 g(x)가 연속이려면 좌극한 = 우극한 = g(0)이어야 하고, 미분가능이려면 좌미분계수 = 우미분계수여야 합니다.

이 두 조건에서 f(0)=0, f'(0)=0이라는 결정적인 정보 두 개를 뽑아낼 수 있어요.

Point 2. 삼차함수의 구조 결정 → 조건 (가)(나)로 범위 좁히기

최고차항의 계수가 1이고 f(0)=0, f'(0)=0이면 f(x)의 형태가 크게 제한됩니다.

여기에 g(α)=-27 조건과 집합 조건 (가), (나)를 결합하면 α, β 값을 특정할 수 있어요.

Point 3. 풀이 순서

① x=0 연속 조건으로 f(0)=0 확보 → ② x=0 미분가능 조건으로 f'(0)=0 확보 → ③ f(x) 구조 결정 → ④ g(α)=-27과 g'(γ)=0으로 α, β 특정 → ⑤ 조건 (가)(나)로 최종 확인 후 f(3) 계산

STEP 1. 미분가능 조건으로 f(0), f'(0) 확보

g(x)가 x=0에서 연속이려면 좌극한과 우극한이 같아야 하므로 f(0)=0을 얻습니다.

x=0에서 미분가능하려면 좌미분계수와 우미분계수가 일치해야 하므로 f'(0)=0도 얻어요.

STEP 2. 삼차함수 f(x)의 구조 결정

최고차항의 계수가 1이고 f(0)=0, f'(0)=0이라는 조건을 활용하여 f(x)의 인수분해 형태를 결정합니다.

α, β를 이차방정식의 근과 계수의 관계로 연결한 뒤, g(α)=-27 조건으로 α=-3, 나머지 상수들을 특정해요.

STEP 3. 조건 (가)(나) 검증 및 최종 계산

f(x)의 극값 구조를 분석하여 {x | g(x)=f(x)}의 원소가 5개인지 확인하고, 부분집합 조건 (나)도 만족시키는 경우를 선택합니다.

최종적으로 확정된 f(x)에 x=3을 대입하면

정답: ③

※ 정확한 수치와 계산 과정은 위 해설 이미지를 참고하세요.

미분가능 조건 누락: 연속 조건만 세우고 미분계수 일치 조건을 빠뜨리면 식이 하나 부족해서 답을 특정할 수 없어요. 반드시 “연속 → 미분” 두 단계를 모두 거치세요.
극값 부호 판단 착오: f(x)의 극대·극소 위치를 찾은 뒤, 각각의 부호(양/음/0)를 정확히 확인해야 조건 (가)의 원소 개수를 맞출 수 있어요.
경우 분류 빠짐: α < β < 0, α < 0 ≤ β 등 삼차함수의 근 배치에 따라 g(x)=f(x)의 해 개수가 달라지므로, 모든 경우를 꼼꼼히 나눠야 합니다.
시간 배분: 15번은 4점 최고난도 문제이므로, 1차 시도에서 막히면 과감히 넘기고 나중에 돌아오는 전략이 유효해요. 16~22번 중 쉬운 문제부터 해결하세요.