2026년 3월 고3 모의고사 공통수학 4점 난이도 ★★★★★ 출제영역: 삼각함수

😰 “조각함수에 삼각함수까지 섞이니까 f(x)=k 해의 개수를 어떻게 세야 할지 감이 안 잡혀요”

→ 이런 문제는 그래프를 그려서 수평선 y=k와의 교점으로 해의 개수와 합을 파악하는 게 정석이에요. 식으로만 풀면 경우의 수가 폭발해요.

① 먼저 f(x)의 각 구간별 그래프를 따로 그린 뒤 합치세요. sin 구간과 cos 구간의 연결부에서 값이 이어지는지도 확인!

② y=k 수평선을 올려가면서 교점의 개수가 어떻게 변하는지, 해의 합이 조건에 맞는 k값을 구간별로 찾으세요.

③ “모든 x의 값의 합”이라는 조건은 연립이 아니라 각 구간의 해를 더한 총합이에요. 구간별 해를 놓치지 마세요.

💪 삼각함수 그래프 활용 문제는 수능 킬러 유형! 이 문제를 정복하면 어떤 삼각함수 문제도 두렵지 않아요!

📋 문제

🎯 이 문제의 핵심 포인트

Point 1. 조각함수의 그래프 스케치

0 ≤ x < π/2 에서 a·sin(bx), π/2 ≤ x ≤ π 에서 cos(cx+d) 처럼 구간별로 다른 삼각함수가 정의되어 있어요. 각 구간의 그래프를 정확히 그리고 경계에서 연결되는지 확인하세요.

Point 2. f(x) = k 의 해의 합 조건

수평선 y=k와 f(x) 그래프의 교점의 x좌표가 해예요.

k값에 따라 해의 개수와 합이 달라지므로, “해의 합 = 주어진 값”을 만족시키는 k의 범위를 경우 분류해서 찾아야 해요.

Point 3. 경우 분류와 상수 결정

k의 범위에 따라 (ⅰ) sin 구간에서만 해 존재, (ⅱ) cos 구간에서만 해 존재, (ⅲ) 양쪽 다 해 존재 등으로 나누고, 조건을 만족시키는 상수 a, b의 값을 결정합니다.

STEP 1. k값 범위별 경우 분류

해설지에 따르면, k값을 여러 범위로 나누어 각 경우에서 f(x) = k의 해를 구합니다.

sin 구간과 cos 구간에서 해가 각각 몇 개 존재하는지, 해의 합이 조건을 만족시키는지 확인해요.

STEP 2. 조건을 만족시키는 k값 결정

해의 합이 주어진 조건을 만족시키는 k의 값을 찾고, 그때의 a, b 값을 결정합니다.

STEP 3. 서로 다른 실수 k의 개수

조건을 만족시키는 k가 3개이므로, 두 연립 방정식에서 a와 b를 구하고 a+b를 계산합니다.

정답: ②

※ 정확한 수치와 계산 과정은 위 해설 이미지를 참고하세요.

그래프 없이 풀지 마세요: 이 유형은 반드시 그래프를 그려야 해요. sin/cos 각 구간의 최댓값·최솟값, 주기를 정확히 표시하고 수평선 y=k를 움직여가며 분석하세요.
구간 경계 포함 여부: “0 ≤ x < π/2" 와 "π/2 ≤ x ≤ π" 처럼 등호가 어디에 붙는지에 따라 경계점의 함숫값이 달라져요. 부등호를 정확히 읽으세요!
해의 합 ≠ 해의 개수: 문제가 “해의 합”을 묻는 건데 “해의 개수”로 착각하면 안 돼요. 교점의 x좌표를 구해서 더하는 거예요.
시간 관리: 이 문제는 최고난도(★★★★★)이에요. 시험에서 5분 이상 걸리면 과감히 넘기고 나중에 돌아오세요. 쉬운 문제 먼저!