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마름모의 가장 중요한 성질인 ‘두 대각선이 서로를 수직이등분한다’를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 구하려는 직선 BD는 다른 대각선 AC의 **수직이등분선**입니다.
2. **(수직 조건)** 두 점 A, C를 지나는 직선 AC의 기울기를 구하고, 그것의 음수의 역수를 구해 직선 BD의 기울기를 찾습니다.
3. **(이등분 조건)** 두 점 A, C의 중점 M의 좌표를 구합니다. 이 중점은 직선 BD 위에 있습니다.
4. 3단계에서 구한 중점 M을 지나고 2단계에서 구한 기울기를 갖는 직선 BD의 방정식을 구합니다.
주의할 점:
마름모의 대각선 문제는 거의 항상 ‘수직’과 ‘이등분(중점)’이라는 두 가지 키워드로 해결됩니다. 이 성질을 반드시 기억해야 합니다.
”
마름모의 대각선 길이와 수직이등분
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정삼각형의 기하학적 성질과 무게중심, 그리고 수직 조건을 종합적으로 활용하는 문제입니다.
접근법:
1. 정삼각형의 무게중심은 꼭짓점과 대변의 중점을 이은 중선(이자 높이) 위에 있습니다. 즉, 직선 AG는 변 BC와 수직입니다.
2. 무게중심이 원점이므로, 직선 AG의 방정식(y=3x)을 알 수 있습니다.
3. 직선 BC는 직선 AG와 수직이므로, 기울기는 -1/3 입니다.
4. 무게중심은 중선을 2:1로 내분하므로, OA=2OM (M은 BC의 중점) 입니다. 이를 이용해 M의 좌표를 구합니다.
5. 점 M을 지나고 기울기가 -1/3인 직선 BC의 방정식을 구합니다.
주의할 점:
정삼각형의 다양한 성질(무게중심=외심, 중선=높이=수직이등분선)을 적극적으로 활용해야 풀이가 간결해집니다.
”
마름모의 대각선은 수직이등분
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넓이가 같을 조건을 이용하여 x축 위의 점 좌표를 찾는 문제입니다. 192번 문제와 유사한 원리를 사용합니다.
접근법:
1. 두 삼각형 ABD와 ABC는 밑변 AB가 공통입니다.
2. 넓이가 같으려면 **높이가 같아야** 합니다. 즉, 점 D에서 직선 AB까지의 거리와 점 C에서 직선 AB까지의 거리가 같아야 합니다.
3. 이는 직선 CD가 직선 AB와 **평행**하다는 것을 의미합니다.
4. 직선 AB의 기울기를 구하고, 점 C를 지나면서 이와 평행한 직선 CD의 방정식을 구합니다.
5. 점 D는 x축 위의 점이므로, 구한 직선의 방정식에 y=0을 대입하여 x좌표 a를 구합니다.
주의할 점:
밑변이 공통인 두 삼각형의 넓이가 같으면, 두 꼭짓점을 이은 선분은 밑변과 평행하다는 기하학적 성질을 이용하는 것이 핵심입니다.
”
정삼각형과 무게중심, 수직 조건
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삼각형의 넓이를 구하는 여러 방법 중, 한 변의 길이와 그 변에 대한 높이를 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형의 세 꼭짓점 C, B, D의 좌표를 먼저 구해야 합니다.
2. 점 C는 주어진 직선의 x절편, 점 B는 문제에 주어진 점, 점 D는 두 직선의 교점입니다. 연립방정식을 통해 D의 좌표를 구합니다.
3. 세 점의 좌표를 알았으므로, 밑변으로 삼을 한 변(예: 선분 CB)의 길이를 구합니다.
4. 밑변을 포함하는 직선(x축)과 나머지 한 꼭짓점 D 사이의 거리(높이)를 구합니다.
5. 삼각형 넓이 공식을 이용해 답을 계산합니다.
주의할 점:
신발끈 공식을 이용하면 세 꼭짓점의 좌표만으로 바로 넓이를 구할 수도 있습니다. 하지만 정석적인 풀이는 변의 길이와 높이를 이용하는 것입니다.
”
넓이가 같을 조건과 평행선
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좌표를 설정하여 도형 문제를 대수적으로 해결하고, 두 직선의 수직 조건을 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 문제의 도형을 풀기 쉽게 좌표평면 위에 배치합니다. (예: 점 B를 원점으로)
2. 각 점 A, B, C, D, P의 좌표를 미지수 또는 상수로 표현합니다.
3. 두 직선 AC와 BP의 방정식을 각각 구합니다.
4. 두 직선이 서로 수직이므로, **기울기의 곱이 -1**이라는 조건을 이용해 미지수 값을 확정합니다.
5. 필요한 점들의 좌표를 모두 구한 뒤, 삼각형 AQD의 넓이를 계산합니다.
주의할 점:
도형 문제를 어떤 위치에 좌표를 설정하는지에 따라 계산의 복잡도가 크게 달라집니다. 수직, 평행 조건이 많은 경우, 변을 좌표축 위에 놓는 것이 유리합니다.
”
교점 좌표로 삼각형 넓이 구하기
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두 삼각형의 밑변이 공통일 때, 넓이가 같을 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 두 삼각형 OAB와 OAC는 밑변 OA가 공통입니다.
2. 두 삼각형의 넓이가 같으려면, **높이가 같아야** 합니다. 즉, 점 B와 점 C에서 직선 OA까지의 거리가 같아야 합니다.
3. 이는 직선 OA와 직선 BC가 서로 **평행**하다는 것을 의미합니다.
4. 두 직선 OA와 BC의 기울기가 같다고 등식을 세워 점 C의 y좌표를 구합니다.
주의할 점:
넓이가 같다는 조건을 높이가 같다는 조건으로, 다시 평행하다는 조건으로, 최종적으로 기울기가 같다는 조건으로 변환하여 푸는 과정이 핵심입니다.
”
좌표 설정과 수직 조건으로 넓이 구하기
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좌표축과 직선으로 만들어지는 삼각형의 넓이 최댓값을 산술-기하 평균 부등식을 이용해 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 직선의 x절편은 a, y절편은 b입니다. (a>0, b>0)
2. 삼각형 OAB의 넓이는 1/2 * ab 입니다.
3. 문제에서 주어진 조건은 OA+OB = a+b = 4√2 입니다.
4. 산술-기하 평균 부등식에 의해, a+b ≥ 2√(ab) 가 항상 성립합니다. 이 식에 a+b 값을 대입하여 ab의 최댓값을 구합니다.
5. ab의 최댓값을 넓이 공식에 대입하여 넓이의 최댓값을 구합니다.
주의할 점:
‘합이 일정할 때 곱의 최댓값’ 또는 ‘곱이 일정할 때 합의 최솟값’을 묻는 문제는 산술-기하 평균 부등식을 활용하는 대표적인 유형임을 기억해야 합니다.
”
밑변이 공통일 때 넓이가 같을 조건
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선분의 수직이등분선이 x축, y축과 만나 만드는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 선분 AB의 수직이등분선의 방정식을 구합니다. (중점 + 수직 조건)
2. 구한 직선의 x절편(점 P)과 y절편(점 Q)을 각각 구합니다.
3. 삼각형 OPQ는 원점을 꼭짓점으로 하는 직각삼각형이므로, 넓이는 **1/2 * |x절편| * |y절편|** 으로 간단히 구할 수 있습니다.
주의할 점:
수직이등분선의 방정식을 정확히 구하는 것이 첫 단계입니다. 절편을 이용한 삼각형 넓이 공식을 잊지 말아야 합니다.
”
산술-기하 평균과 넓이 최댓값
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삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점을 찾는 문제입니다. 이 점이 바로 삼각형의 외심입니다.
접근법:
1. 세 변(AB, BC, CA) 중 계산하기 편한 두 변을 선택합니다.
2. 첫 번째 선택한 변(예: AC)의 수직이등분선의 방정식을 구합니다. (중점 + 수직 조건)
3. 두 번째 선택한 변(예: BC)의 수직이등분선의 방정식을 구합니다.
4. 두 수직이등분선의 방정식을 연립하여 교점의 좌표를 구합니다. 이 교점이 세 수직이등분선의 교점이자 외심이 됩니다.
주의할 점:
‘세 변의 수직이등분선의 교점’이 ‘외심’과 같은 의미임을 알고 있어야 합니다. 외심의 다른 정의(‘세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 점’)를 이용해 풀 수도 있지만, 이 문제에서는 수직이등분선을 이용하는 것이 더 효율적입니다.
”
수직이등분선과 축으로 만든 넓이
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선분과 직선이 수직으로 만나고, 그 교점이 선분을 특정한 비율로 내분할 때, 선분의 끝점 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 직선 AP는 주어진 직선과 수직입니다. 수직 조건을 이용해 **직선 AP의 방정식**을 먼저 구합니다.
2. 두 직선의 교점 P의 좌표를 연립방정식을 통해 구합니다.
3. 점 P는 선분 AB를 2:1로 내분하는 점입니다. 내분점 공식을 이용해 P의 좌표를 미지수 a,b로 표현하고, 2단계에서 구한 실제 P의 좌표와 같다고 놓고 a,b를 구합니다.
주의할 점:
수직 조건, 교점, 내분점 등 여러 개념이 복합적으로 사용됩니다. 문제의 조건을 순서대로 활용하여 미지수를 하나씩 제거해나가는 전략이 필요합니다.
”
세 변의 수직이등분선의 교점(외심)
