“
원 위의 점에서의 접선이 원 밖의 특정 점을 지날 때, 접점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 접점을 P(x₁, y₁)로 설정합니다.
2. 점 P에서의 접선의 방정식은 x₁x + y₁y = 1 입니다.
3. 이 접선이 원 밖의 점 (0,3)을 지나므로, 좌표를 대입하여 y₁의 값을 먼저 구합니다.
4. 점 P(x₁, y₁)는 원 위의 점이기도 하므로, x₁²+y₁²=1 이 성립합니다. 이 식에 y₁ 값을 대입하여 x₁ 값을 구합니다.
5. 제1사분면 위의 점이라는 조건에 맞는 좌표를 선택합니다.
주의할 점:
이 문제의 풀이는 ‘원 밖의 한 점에서 그은 두 접점을 지나는 직선(극선)’의 방정식을 구하는 원리와도 연결됩니다.
”
원 밖의 점을 지나는 접점의 좌표
“
원 위의 한 점에서의 접선이 주어졌을 때, 원의 반지름과 접점의 좌표를 역으로 추적하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 점 (a, 4√3)에서의 접선의 방정식은 ax + 4√3y = r² 입니다.
2. 이 방정식이 주어진 직선 x-√3y+b=0 과 일치해야 합니다. 계수 비교를 통해 a, r, b 사이의 관계식을 구합니다.
3. 점 (a, 4√3)은 원 위의 점이므로, x²+y²=r² 에 대입하면 성립합니다.
4. 두 관계식을 연립하여 a, r, b 값을 모두 결정합니다.
주의할 점:
두 직선이 일치할 조건(계수비가 같다)과 점이 원 위에 있다는 조건(좌표 대입)을 모두 활용해야 하는 연립 문제입니다.
”
접선이 주어질 때 반지름과 접점 구하기
“
원 위의 한 점에서의 접선이 특정 점을 지날 때의 미지수를 찾는, 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 원 x²+y²=10 위의 점 (3,1)에서의 접선의 방정식을 공식(x₁x + y₁y = r²)을 이용해 구합니다. (3x+y=10)
2. 이 접선이 점 (1,a)를 지난다고 했으므로, 좌표를 접선의 방정식에 대입합니다.
3. a에 대한 간단한 일차방정식을 풀어 답을 구합니다.
주의할 점:
가장 기본적인 접선 공식과 점의 대입 원리만 알면 쉽게 해결할 수 있는 문제입니다.
”
원 위의 점 접선이 다른 점을 지날 조건
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원 위의 한 점에서의 접선의 x절편과 y절편의 관계가 주어졌을 때, 접점의 좌표를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 접점 P의 좌표를 (a,b)로 설정합니다. (a²+b²=4)
2. 점 P에서의 접선의 방정식은 ax+by=4 입니다.
3. 이 접선의 x절편(4/a)과 y절편(4/b)을 구합니다.
4. 두 절편을 밑변과 높이로 하는 직각삼각형의 빗변의 길이가 주어진 선분 QR의 길이입니다. 피타고라스 정리를 이용해 a,b의 관계식을 얻습니다.
5. 1단계와 4단계에서 얻은 두 관계식을 연립하여 a,b 값을 구합니다.
주의할 점:
여러 미지수와 관계식을 체계적으로 정리하고 연립하는 능력이 필요합니다. 제1사분면 위의 점이라는 조건도 활용해야 합니다.
”
접선의 절편 관계로 접점 구하기
“
원 위의 한 점에서의 접선이 다른 원에 접할 때, 미지수를 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 첫 번째 원 위의 점 (-1,2)에서의 접선의 방정식을 구합니다.
2. 이 접선이 두 번째 원에도 접해야 합니다.
3. 두 번째 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심과 반지름을 미지수 a를 포함한 식으로 나타냅니다.
4. 두 번째 원의 중심과 1단계에서 구한 접선 사이의 거리가 두 번째 원의 반지름과 같다는 등식을 세웁니다.
5. 이 등식을 풀어 a값을 구합니다.
주의할 점:
하나의 직선이 두 개의 다른 원에 접하는 상황을 식으로 표현하는 문제입니다. 점과 직선 사이의 거리 공식이 핵심적인 역할을 합니다.
”
원 위의 점 접선이 다른 원에 접할 조건
“
원 위의 한 점에서의 접선과 x축, y축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 중심이 (1,2)인 원 위의 점 (-2,6)에서의 접선의 방정식을 구합니다. (공식: (x₁-a)(x-a) + (y₁-b)(y-b) = r²)
2. 구한 접선의 x절편과 y절편을 각각 찾습니다.
3. x절편과 y절편을 밑변과 높이로 하는 직각삼각형의 넓이를 구합니다.
주의할 점:
중심이 원점이 아닌 원 위의 점에서의 접선 공식을 정확하게 암기하거나, (기울기) * (반지름의 기울기) = -1 이라는 수직 조건을 이용해 유도할 수 있어야 합니다.
”
중심이 원점 아닌 원의 접선과 넓이
“
원 위의 두 점에서 그은 각각의 접선의 교점을 찾고, 사각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 점 P(-1,3)에서의 접선의 방정식을 구합니다.
2. 원 위의 점 Q(3,1)에서의 접선의 방정식을 구합니다.
3. 두 접선의 방정식을 연립하여 교점 R의 좌표를 찾습니다.
4. 사각형 OPRQ의 넓이를 구합니다. 이 사각형은 두 개의 합동인 직각삼각형(OPR과 OQR)으로 이루어져 있으므로, 한쪽 삼각형의 넓이를 구해 2배 하면 됩니다.
주의할 점:
두 접선이 수직임을 파악하면, 사각형 OPRQ가 한 변의 길이가 반지름인 정사각형이 되어 넓이를 더 쉽게 구할 수 있습니다.
”
원 위의 두 접선의 교점과 사각형 넓이
“
원 위의 한 점에서의 접선이 다른 원과 평행할 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 x²+y²=5 위의 점 (-2,1)에서의 접선의 방정식을 구합니다.
2. 구한 접선과 평행하므로, 기울기가 같습니다. 원 x²+y²=9에 접하면서 이 기울기를 갖는 접선의 방정식을 구합니다.
3. 기울기가 주어진 원의 접선 공식을 이용하면 두 개의 평행한 접선이 나옵니다.
주의할 점:
문제의 흐름을 정확히 따라야 합니다. 첫 번째 원에서는 ‘접점’을, 두 번째 원에서는 ‘기울기’를 핵심 정보로 사용합니다.
”
원 위의 점 접선과 평행한 다른 원의 접선
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원 위의 한 점에서의 접선과 다른 직선의 수직 조건을 이용하는 문제입니다.
접근법:
1. 원 x²+y²=20 위의 점 (2,4)에서의 접선의 방정식을 공식(x₁x + y₁y = r²)을 이용해 구합니다. (2x+4y=20)
2. 이 접선과 주어진 직선 kx-3y+6=0이 서로 수직입니다.
3. 두 직선이 수직일 조건(기울기의 곱=-1 또는 일반형에서 aa’+bb’=0)을 이용해 k값을 구합니다.
주의할 점:
원 위의 점에서의 접선 공식을 정확히 암기하고, 두 직선의 수직 조건을 올바르게 적용하는 것이 중요합니다.
”
원 위의 점 접선과 다른 직선의 수직 조건
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원 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 유도하는 과정을 묻는 빈칸 추론 문제입니다.
접근법:
1. 이 증명은 **반지름과 접선이 수직**이라는 기하학적 성질을 이용합니다.
2. (가): 반지름 OP와 접선 l은 서로 수직입니다.
3. (나), (다): 직선 OP의 기울기를 구하고, 수직인 직선 l의 기울기는 그것의 음수의 역수임을 이용합니다.
4. (라), (마): 점 P를 지나고 (다)의 기울기를 갖는 직선의 방정식을 세우고, 점 P가 원 위의 점이라는 조건(x₁²+y₁²=r²)을 이용해 식을 최종적으로 정리합니다.
주의할 점:
공식의 유도 과정을 이해하면, 중심이 원점이 아닌 경우에도 동일한 원리를 적용하여 접선의 방정식을 유도할 수 있습니다.
”
원 위의 점에서의 접선 공식 유도
