“
원 위의 점과 원 밖의 한 점 사이의 거리가 정수가 되도록 하는 점의 개수를 세는 문제입니다.
접근법:
1. 466번 문제와 같이, 먼저 거리의 **최댓값(M)과 최솟값(m)**을 구합니다.
2. 원 위의 점 P와 점 A 사이의 거리는 m 이상 M 이하의 모든 실수 값을 가질 수 있습니다. (m ≤ AP ≤ M)
3. 이 범위 안에 포함되는 **정수 값**들을 모두 찾습니다.
4. 각 정수 값에 대해, 그 거리를 만족하는 점 P가 몇 개씩 있는지 셉니다. 최솟값과 최댓값을 만족하는 점은 각각 1개씩, 그 사이의 정수 값을 만족하는 점은 원의 대칭성에 의해 항상 **2개씩** 존재합니다.
주의할 점:
단순히 정수의 개수만 세는 것이 아니라, 양 끝(최소, 최대) 지점은 점이 1개, 그 사이는 2개씩이라는 점을 놓치지 말아야 합니다.
”
거리 식의 최댓값 구하기
“
원 밖의 한 점과 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값과 최솟값을 구하는 가장 기본적인 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심 C의 좌표와 반지름 r의 길이를 구합니다.
2. 원 밖의 점 Q와 원의 중심 C 사이의 거리 d를 구합니다.
3. **최댓값 M = d + r** (점 Q, 중심 C, 점 P가 일직선 상에 있고 C가 가운데 있을 때)
4. **최솟값 m = d – r** (점 Q, 점 P, 중심 C가 일직선 상에 있고 P가 가운데 있을 때)
주의할 점:
최대/최소 거리는 항상 원 밖의 점과 중심을 잇는 직선 위에서 발생한다는 기하학적인 그림을 머릿속에 그릴 수 있어야 합니다.
”
거리가 정수가 되는 점의 개수
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원과 만나는 직선 위의 두 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 조건을 묻는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원 위의 한 점에서의 접선과, 그 접선에 수직인 또 다른 접선이 만나는 점은 항상 **감독원** 위에 있습니다.
2. 이 문제에서 두 접선이 수직이므로, 두 접선의 교점 D는 원의 감독원 위에 있습니다.
3. 또한, 두 접점 A, B와 원의 중심 C, 그리고 교점 D로 만들어지는 사각형 ADBC는 정사각형입니다. 이때 대각선 CD는 y=x와 수직이등분 관계에 있을 것입니다.
4. 원의 중심(1,1)과 직선 y=mx 사이의 거리를 이용해 m에 대한 관계식을 세우고, 기하학적 조건을 만족하는 m 값들의 합을 구합니다.
주의할 점:
상황이 매우 복잡하므로, 그림을 그려 기하학적 관계를 파악하는 것이 중요합니다. 두 접선이 수직이라는 조건에서 감독원을 떠올리고, 이등변삼각형, 정사각형 등의 성질을 활용해야 합니다.
”
원 밖의 점과 원 위 점 사이 거리 최대/최소
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 원의 반지름을 찾는 문제입니다.
접근법:
1. 원 밖의 점 P(5,4)에서 그은 두 접선이 수직이므로, 점 P는 이 원의 **감독원** 위에 있어야 합니다.
2. 원의 중심은 (1,2)이고 반지름은 r입니다.
3. 이 원의 감독원의 방정식은 **(x-1)²+(y-2)² = 2r²** 입니다.
4. 점 P(5,4)가 이 감독원 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 r² 값을 구하고, 반지름 r을 찾습니다.
주의할 점:
점 P, 원의 중심, 그리고 두 접점으로 만들어지는 사각형은 한 변의 길이가 반지름 r인 정사각형이 됩니다. 따라서 (중심과 점 P 사이의 거리) = (정사각형의 대각선 길이) = √2 * r 이라는 기하학적 관계를 이용해 풀 수도 있습니다.
”
두 접선이 수직일 때 기울기의 합
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462번 문제와 동일하게, 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 조건을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 원 밖의 한 점 P(2,0)에서 그은 두 접선이 수직이므로, 점 P는 이 원의 감독원 위에 있어야 합니다.
2. 원의 중심은 (2,a)이고 반지름은 2입니다.
3. 이 원의 감독원의 방정식은 (x-2)²+(y-a)² = 2 * (반지름)² = 2 * 4 = 8 입니다.
4. 점 P(2,0)이 이 감독원 위에 있으므로, 좌표를 대입하여 양수 a값을 구합니다.
주의할 점:
이 문제에서는 원의 중심에 미지수가 포함되어 있지만, 감독원의 개념을 적용하는 원리는 동일합니다.
”
두 접선이 수직일 때 반지름 구하기
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 서로 수직일 조건을 묻는 문제입니다. 이는 감독원(Director Circle)의 개념입니다.
접근법:
1. 원 밖의 한 점 P에서 그은 두 접선이 수직을 이룰 때, 그 점 P는 특정 원 위를 움직입니다. 이 원을 감독원이라고 합니다.
2. 중심이 (a,b)이고 반지름이 r인 원의 감독원의 방정식은 **(x-a)²+(y-b)² = 2r²** 입니다.
3. 이 문제에서 원의 중심은 (0,0)이고 반지름의 제곱은 8입니다.
4. 따라서 감독원의 방정식은 x²+y² = 2*8 = 16 입니다.
5. 점 A(0,a)는 이 감독원 위에 있어야 하므로, 좌표를 대입하여 양수 a값을 구합니다.
주의할 점:
감독원의 개념을 모를 경우, 기울기를 m으로 두고 접선 방정식을 세운 뒤, m에 대한 이차방정식의 두 근의 곱이 -1임을 이용해 풀어야 하므로 계산이 복잡해집니다.
”
두 접선이 수직일 때 중심의 좌표
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접점으로 만들어지는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 삼각형 PAB의 밑변을 선분 AB(극선), 높이를 점 P에서 직선 AB까지의 거리로 설정합니다.
2. (밑변 길이) 460번 문제와 동일한 방법으로 극선의 방정식을 구하고, 현 AB의 길이를 구합니다.
3. (높이) 점 P(1,3)과 2단계에서 구한 직선 AB 사이의 거리를 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 구합니다.
4. 넓이 = 1/2 * (밑변 AB) * (높이) 를 계산합니다.
주의할 점:
극선의 방정식을 구하는 것, 현의 길이를 구하는 것, 점과 직선 사이의 거리를 구하는 것 등 여러 기본 개념이 순차적으로 필요한 종합 문제입니다.
”
두 접선이 서로 수직일 조건(감독원)
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접점 사이의 거리, 즉 극선(현)의 길이를 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (극선 방정식) 459번 문제의 공식을 이용해, 두 접점 A, B를 지나는 직선의 방정식을 먼저 구합니다.
2. 이제 문제는 ‘원과 직선이 만나서 생기는 현의 길이’를 구하는 문제로 바뀝니다.
3. 원의 중심 (0,0)과 1단계에서 구한 극선 사이의 거리 d를 구합니다.
4. 원의 반지름 r은 5입니다.
5. 피타고라스 정리 **(현의 길이/2)² + d² = r²** 을 이용해 현 AB의 길이를 구합니다.
주의할 점:
극선의 방정식을 구하는 것이 첫 단계입니다. 이 개념을 모른다면 문제를 풀기가 매우 어렵습니다.
”
두 접점으로 만든 삼각형의 넓이
“
원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 접점을 지나는 직선(극선)의 방정식을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. (공식 활용) 원 x²+y²=r² 밖의 한 점 (x₁,y₁)에서 그은 두 접점 P, Q를 지나는 직선의 방정식은 **x₁x + y₁y = r²** 입니다.
2. 이 문제에서 원 밖의 점은 (2,3)이고, 원의 방정식은 x²+y²=1 입니다.
3. 공식에 그대로 대입하면, 구하는 직선의 방정식은 2x+3y=1 이 됩니다.
주의할 점:
극선의 방정식 공식을 알고 있으면 10초 안에 풀 수 있는 문제입니다. 이 공식은 교육과정에서 직접적으로 다루지 않을 수 있지만, 매우 유용하므로 기억해두는 것이 좋습니다.
”
두 접점 사이의 거리(극선 길이)
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원 밖의 한 점에서 그은 접선이 x축과 만나는 점, 즉 x절편을 묻는 문제입니다.
접근법:
1. 점 (0,3)에서 원 x²+y²=1에 그은 접선의 방정식을 구합니다.
2. 접선의 기울기를 m으로 두는 방법보다, 접점을 (x₁, y₁)로 두고 푸는 것이 더 효율적입니다.
3. 접선의 방정식은 x₁x + y₁y = 1 이고, 이 직선이 (0,3)을 지나므로 3y₁=1, 즉 y₁=1/3 입니다.
4. 접점이 원 위의 점이므로 x₁²+y₁²=1 에서 x₁값을 구합니다.
5. 접선의 방정식이 완성되면, y=0을 대입하여 x절편 k를 구합니다. k² 값을 최종적으로 계산합니다.
주의할 점:
원 밖의 점이 좌표축 위에 있을 경우, 접점을 미지수로 두는 것이 계산을 더 간편하게 만드는 경우가 많습니다.
”
두 접점을 지나는 직선(극선)의 방정식
